Uno equazione di secondo grado è l'intera equazione nella forma ascia2 + bx + c = 0, con a, b e c numeri reali e a 0. Per risolvere un'equazione di questo tipo, puoi usare diversi metodi.
Usa le risoluzioni commentate degli esercizi qui sotto per chiarire tutti i tuoi dubbi. Assicurati anche di mettere alla prova le tue conoscenze con le domande risolte del concorso.
Esercizi commentati
Esercizio 1
L'età di mia madre moltiplicata per la mia è uguale a 525. Se quando sono nato mia madre aveva 20 anni, quanti anni ho io?
Soluzione
Considerando la mia età pari a X, possiamo quindi considerare che l'età di mia madre è pari a x + 20. Come facciamo a conoscere il valore del prodotto delle nostre età, allora:
X. (x + 20) = 525
Applicando alle proprietà distributive della moltiplicazione:
X2 + 20 x - 525 = 0
Arriviamo quindi a un'equazione di 2° grado completa, con a = 1, b = 20 e c = - 525.
Per calcolare le radici dell'equazione, ovvero i valori di x dove l'equazione è uguale a zero, usiamo la formula di Bhaskara.
Innanzitutto, dobbiamo calcolare il valore di :
Per calcolare le radici usiamo:
Sostituendo i valori nella formula sopra, troveremo le radici dell'equazione, in questo modo:
Poiché la mia età non può essere negativa, disprezziamo il valore -35. Quindi il risultato è 15 anni.
Esercizio 2
Un quadrato, rappresentato nella figura sottostante, ha una forma rettangolare e la sua area è pari a 1 350 m2. Sapendo che la sua larghezza corrisponde a 3/2 della sua altezza, determina le dimensioni del quadrato.
Soluzione
Considerando che la sua altezza è pari a X, la larghezza sarà quindi uguale a 3/2x. L'area di un rettangolo viene calcolata moltiplicando la sua base per il valore dell'altezza. In questo caso abbiamo:
Arriviamo ad un'equazione di 2° grado incompleta, con a = 3/2, b = 0 ec = - 1350, possiamo calcolare questo tipo di equazione isolando la x e calcolando il valore della radice quadrata.
Poiché il valore di x rappresenta la misura dell'altezza, ignoreremo il - 30. Pertanto, l'altezza del rettangolo è pari a 30 m. Per calcolare la larghezza, moltiplichiamo questo valore per 3/2:
Pertanto, la larghezza del quadrato è uguale a 45 m e la sua altezza è uguale a 30 m.
Esercizio 3
Quindi x = 1 è la radice dell'equazione 2ax2 + (2°2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, i valori di a dovrebbero essere:
a) 3 e 2
b) - 1 e 1
c) 2 e - 3
d) 0 e 2
e) - 3 e - 2
Soluzione
Per trovare il valore di a, sostituiamo prima x con 1. In questo modo, l'equazione sarà simile a questa:
2.a.12 + (2°2 - a - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2° + 2°2 - a - 4 - 2 - a2 = 0
Il2 da + a - 6 = 0
Ora, dobbiamo calcolare la radice dell'equazione completa di 2° grado, per questo useremo la formula di Bhaskara.
Pertanto, l'alternativa corretta è il lettera C.
Domande sul concorso
1) Epcar - 2017
Consideriamo, in, l'equazione (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 nella variabile x, dove m è un numero reale diverso da - 2.
Rivedi le seguenti affermazioni e valutale come V (VERO) o F (FALSO).
( ) Per ogni m > 2 l'equazione ha un insieme di soluzioni vuoto.
( ) Esistono due valori reali di m affinché l'equazione ammetta radici uguali.
( ) Nell'equazione, se ∆ >0, allora m può assumere solo valori positivi.
La sequenza corretta è
a) V - V - V
b) FA - V - FA
c) F - F - V
d) V - FA - FA
Diamo un'occhiata a ciascuna delle affermazioni:
Per ogni m > 2 l'equazione ha un insieme di soluzioni vuoto
Poiché l'equazione è di secondo grado in ℝ, non avrà soluzione quando il delta è minore di zero. Calcolando questo valore abbiamo:
Quindi la prima affermazione è vera.
Esistono due valori reali di m affinché l'equazione ammetta radici uguali.
L'equazione avrà radici reali uguali quando =0, ovvero:
- 4m + 8 =0
m=2
Pertanto, l'affermazione è falsa poiché esiste un solo valore di m in cui le radici sono reali e uguali.
Nell'equazione, se ∆ >0, allora m può assumere solo valori positivi.
Per >0 abbiamo:
Poiché nell'insieme degli infiniti numeri reali ci sono numeri negativi minori di 2, anche l'affermazione è falsa.
Alternativa d: V-FA-FA
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura deve risolvere un'equazione di 2° grado nella “casa” ma si rende conto che quando copia dalla lavagna al quaderno, si è dimenticata di copiare il coefficiente di x. Per risolvere l'equazione, la registrò come segue: 4x2 + ascia + 9 = 0. Poiché sapeva che l'equazione aveva una sola soluzione, e questa era positiva, era in grado di determinare il valore di a, che è
a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13
Quando un'equazione di 2° grado ha un'unica soluzione, il delta, dalla formula di Bhaskara, è uguale a zero. Quindi per trovare il valore di Il, basta calcolare il delta, eguagliando il suo valore a zero.
Quindi se a = 12 o a = - 12 l'equazione avrà una sola radice. Tuttavia, dobbiamo ancora verificare quale dei valori di Il il risultato sarà una radice positiva.
Per questo, troviamo la radice, per i valori di Il.
Quindi per a = -12 l'equazione avrà solo una radice e positiva.
Alternativa b: -12
3) Enem - 2016
Un tunnel deve essere sigillato con una copertura in cemento. La sezione della galleria e il copriferro hanno i contorni di un arco di parabola e le stesse dimensioni. Per determinare il costo del lavoro, un ingegnere deve calcolare l'area sotto l'arco parabolico in questione. Usando l'asse orizzontale a terra e l'asse di simmetria della parabola come asse verticale, ottenne la seguente equazione per la parabola:
y = 9 - x2, dove x e y sono misurati in metri.
È noto che l'area sotto una parabola come questa è pari a 2/3 dell'area del rettangolo le cui dimensioni sono, rispettivamente, pari alla base e all'altezza dell'imbocco della galleria.
Qual è l'area della parte anteriore della copertura in calcestruzzo, in metri quadrati?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Per risolvere questo problema, dobbiamo trovare le misure della base e dell'altezza dell'ingresso del tunnel, come, il problema ci dice che l'area del fronte è pari a 2/3 dell'area del rettangolo con queste dimensioni.
Questi valori saranno trovati dall'equazione di 2 ° grado data. La parabola di questa equazione ha la concavità rivolta verso il basso, perché il coefficiente Il è negativo. Di seguito è riportato uno schema di questa parabola.
Dal grafico si vede che la misura della base del tunnel si troverà calcolando le radici dell'equazione. Già la sua altezza, sarà uguale alla misura del vertice.
Per calcolare le radici, osserviamo che l'equazione 9 - x2 è incompleta, quindi possiamo trovare le sue radici eguagliando l'equazione a zero e isolando la x:
Pertanto, la misura della base della galleria sarà pari a 6 m, cioè la distanza tra le due radici (-3 e 3).
Guardando il grafico, vediamo che il punto del vertice corrisponde al valore sull'asse y che x è uguale a zero, quindi abbiamo:
Ora che conosciamo le misure della base e dell'altezza del tunnel, possiamo calcolarne l'area:
Alternativa c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
Per quale valore di "a" l'equazione (x - 2).(2ax - 3) + (x - 2).(- ax + 1) = 0 ha due radici ed è uguale?
a 1
b) 0
c) 1
d) 2
Perché un'equazione di 2° grado abbia due radici uguali, è necessario che =0, cioè b2-4ac=0. Prima di calcolare il delta, dobbiamo scrivere l'equazione nella forma ax2 + bx + c = 0.
Possiamo iniziare applicando la proprietà distributiva. Tuttavia, notiamo che (x - 2 ) è ripetuto in entrambi i termini, quindi mettiamolo in evidenza:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0
Ora, distribuendo il prodotto, abbiamo:
ascia2 - 2x - 2x + 4 = 0
Calcolando la ed uguale a zero, troviamo:
Quindi quando a = 1, l'equazione avrà due radici uguali.
Alternativa c: 1
Per saperne di più, vedi anche:
- Equazione di secondo grado
- Equazione di primo grado
- Funzione quadratica
- Funzione quadratica - Esercizi
- Funzione lineare
- Esercizi sulle funzioni correlate