Il mmc e il mdc rappresentano, rispettivamente, il minimo comune multiplo e il massimo comun divisore tra due o più numeri.
Non perdere l'occasione di chiarire tutti i tuoi dubbi attraverso gli esercizi commentati e risolti che presentiamo di seguito.
Esercizi proposti
Esercizio 1
In relazione ai numeri 12 e 18, determinare senza considerare 1.
a) I divisori di 12.
b) I divisori di 18.
c) I divisori comuni di 12 e 18.
d) Il massimo comun divisore di 12 e 18.
a) 2, 3, 4, 6 e 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 e 6
d) 6
Esercizio 2
Calcola MMC e MDC tra 36 e 44.
Esercizio 3
Considera un numero x, naturale. Quindi classifica le affermazioni come vere o false e giustifica.
a) Il massimo comun divisore di 24 e x può essere 7.
b) Il massimo comun divisore di 55 e 15 può essere 5.
a) No, perché 7 non è un divisore di 24.
b) Sì, poiché 5 è un divisore comune tra 55 e 15.
Esercizio 4
In una presentazione per il lancio della nuova auto da corsa del team TodaMatéria, si è svolta una gara insolita. Hanno partecipato tre veicoli: l'auto di lancio, l'auto della scorsa stagione e un'autovettura normale.
Il circuito è ovale, i tre sono partiti insieme e hanno mantenuto velocità costanti. L'auto di lancio impiega 6 minuti per completare un giro. L'auto della scorsa stagione impiega 9 minuti per completare un giro e l'autovettura impiega 18 minuti per completare un giro.
Dopo l'inizio della gara, quanto tempo impiegheranno per rifare insieme lo stesso punto di partenza?
Per determinarlo è necessario calcolare il mmc (6, 9, 18).
Quindi hanno ripercorso lo stesso punto di partenza 18 minuti dopo.
Esercizio 5
In una confezione ci sono rotoli di rete che misurano 120, 180 e 240 centimetri. Dovrai tagliare il tessuto in pezzi uguali, il più grande possibile, e non rimane nulla. Quale sarà la lunghezza massima di ogni striscia di rete?
Per determinare, dobbiamo calcolare il mdc (120,180,240).
La lunghezza più lunga possibile, senza sbalzi, sarà di 60 cm.
Esercizio 6
Determinare MMC e MDC dai seguenti numeri.
a) 40 e 64
Risposta corretta: mmc = 320 e mdc = 8.
Per trovare mmc e mdc, il metodo più veloce è dividere i numeri simultaneamente per i numeri primi più piccoli possibili. Vedi sotto.
Nota che mmc viene calcolato moltiplicando i numeri utilizzati nel factoring e gcd viene calcolato moltiplicando i numeri che dividono i due numeri contemporaneamente.
b) 80, 100 e 120
Risposta corretta: mmc = 1200 e mdc = 20.
La scomposizione simultanea dei tre numeri ci darà mmc e mdc dei valori presentati. Vedi sotto.
La divisione per i numeri primi ci ha dato il risultato di mmc moltiplicando i fattori e mdc moltiplicando i fattori che dividono i tre numeri contemporaneamente.
Esercizio 7
Usando la scomposizione in fattori primi, determina: quali sono i due numeri consecutivi il cui mmc è 1260?
a) 32 e 33
b) 33 e 34
c) 35 e 36
d) 37 e 38
Alternativa corretta: c) 35 e 36.
Innanzitutto, dobbiamo fattorizzare il numero 1260 e determinare i fattori primi.
Moltiplicando i fattori, troviamo che i numeri consecutivi sono 35 e 36.
Per dimostrazione, calcoliamo il mmc dei due numeri.
Esercizio 8
Per celebrare la Giornata dello studente si terrà una caccia al tesoro con gli studenti di tre classi di sesta, settima e ottava classe. Vedi sotto il numero di studenti in ogni classe.
| Classe | 6º | 7º | 8º |
| Numero di studenti | 18 | 24 | 36 |
Determinare tramite il mdc il numero massimo di studenti di ogni classe che possono partecipare al concorso come parte di una squadra.
Dopodiché rispondi: quante squadre possono essere formate rispettivamente dalle classi 6a, 7a e 8a con il numero massimo di partecipanti per squadra?
a) 3, 4 e 5
b) 4, 5 e 6
c) 2, 3 e 4
d) 3, 4 e 6
Alternativa corretta: d) 3, 4 e 6.
Per rispondere a questa domanda, dobbiamo iniziare scomponendo i valori dati in numeri primi.
Pertanto, abbiamo trovato il numero massimo di studenti per squadra e, in questo modo, ogni classe avrà:
6° anno: 18/6 = 3 squadre
7° anno: 24/6 = 4 squadre
8° anno: 36/6 = 6 squadre
Esami di ammissione risolti
domanda 1
(Apprendista Marinaio - 2016) Sia A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) e y = mdc (A, B), allora il valore di x + y è uguale a:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Alternativa corretta: d) 520.
Per trovare il valore della somma di xey, devi prima trovare questi valori.
In questo modo, fattorizzeremo i numeri in fattori primi e poi calcoleremo mmc e mdc tra i numeri dati.
Ora che conosciamo il valore di x (mmc) e y (mdc), possiamo trovare la somma:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternativa: d) 520
Domanda 2
(Unicamp - 2015) La tabella sottostante riporta alcuni valori nutrizionali per la stessa quantità di due alimenti, A e B.
Consideriamo due porzioni isocaloriche (dello stesso valore energetico) degli alimenti A e B. Il rapporto tra la quantità di proteine in A e la quantità di proteine in B è uguale a
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Alternativa corretta: c) 8.
Per trovare le porzioni isocaloriche degli alimenti A e B, calcoliamo il mmc tra i rispettivi valori energetici.
Quindi, dobbiamo considerare la quantità necessaria di ogni alimento per ottenere il valore calorico.
Considerando l'alimento A, per avere un potere calorico di 240 Kcal, è necessario moltiplicare le calorie iniziali per 4 (60. 4 = 240). Per il cibo B, è necessario moltiplicare per 3 (80. 3 = 240).
Pertanto, la quantità di proteine nell'alimento A sarà moltiplicata per 4 e quella nell'alimento B per 3:
Cibo A: 6. 4 = 24 g
Cibo B: 1. 3 = 3 g
Abbiamo quindi che il rapporto tra queste quantità sarà dato da:
Alternativa: c) 8
Domanda 3
(UERJ - 2015) Nella tabella sottostante sono indicate tre possibilità per disporre n quaderni in pacchetti:
Se n è minore di 1200, la somma delle cifre del valore più grande di n è:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Alternativa corretta: b) 17.
Considerando i valori riportati in tabella, abbiamo le seguenti relazioni:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Nota che se aggiungessimo 1 libro al valore di n, non avremmo più resto nelle tre situazioni, poiché formeremmo un altro pacchetto:
n + 1 = 12. x + 12
n+1 = 20. x + 20
n+1 = 18. x + 18
Quindi, n + 1 è un multiplo comune di 12, 18 e 20, quindi se troviamo mmc (che è il più piccolo comune multiplo), possiamo, da lì, trovare il valore di n+1.
Calcolo del mmc:
Quindi il valore più piccolo di n + 1 sarà 180. Tuttavia, vogliamo trovare il valore più grande di n inferiore a 1200. Quindi cerchiamo un multiplo che soddisfi queste condizioni.
Per questo, moltiplichiamo 180 fino a trovare il valore desiderato:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (questo valore è maggiore di 1 200)
Quindi possiamo calcolare il valore di n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
La somma delle sue cifre sarà data da:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternativa: b) 17
Vedi anche: MMC e MDC
domanda 4
(Enem - 2015) Un architetto sta ristrutturando una casa. Per contribuire all'ambiente decide di riutilizzare le assi di legno prese dalla casa. Dispone di 40 tavole da 540 cm, 30 da 810 cm e 10 da 1080 cm, tutte della stessa larghezza e spessore. Chiese a un falegname di tagliare le assi in pezzi di uguale lunghezza, senza andarsene avanzi, e in modo che i nuovi pezzi fossero il più grandi possibile, ma più corti in lunghezza che 2 mt.
In risposta alla richiesta dell'architetto, il falegname deve produrre
a) 105 pezzi.
b) 120 pezzi.
c) 210 pezzi.
d) 243 pezzi.
e) 420 pezzi.
Alternativa corretta: e) 420 pezzi.
Siccome si chiede ai pezzi di essere della stessa lunghezza e più grandi possibile, calcoliamo il mdc (massimo comun divisore).
Calcoliamo il mdc tra 540, 810 e 1080:
Tuttavia, il valore trovato non può essere utilizzato, poiché esiste una restrizione sulla lunghezza inferiore a 2 m.
Quindi dividiamo 2,7 per 2, poiché il valore trovato sarà anche un divisore comune di 540, 810 e 1080, poiché 2 è il più piccolo fattore primo comune di questi numeri.
Quindi, la lunghezza di ogni pezzo sarà pari a 1,35 m (2,7: 2). Ora dobbiamo calcolare quanti pezzi avremo di ogni tavola. Per questo, faremo:
5,40: 1,35 = 4 pezzi
8.10: 1.35 = 6 pezzi
10,80: 1,35 = 8 pezzi
Considerando la quantità di ogni tavola e sommando, abbiamo:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 pezzi
Alternativa: e) 420 pezzi
domanda 5
(Enem - 2015) Il gestore di un cinema fornisce annualmente biglietti gratuiti alle scuole. Quest'anno saranno distribuiti 400 biglietti per una sessione pomeridiana e 320 biglietti per una sessione serale dello stesso film. È possibile scegliere più scuole per ricevere i biglietti. Ci sono alcuni criteri per la distribuzione dei biglietti:
- ogni scuola deve ricevere i biglietti per una singola sessione;
- tutte le scuole ammissibili devono ricevere lo stesso numero di biglietti;
- non ci saranno biglietti rimanenti (cioè tutti i biglietti saranno distribuiti).
Il numero minimo di scuole che possono essere scelte per ottenere i biglietti, secondo i criteri stabiliti, è
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Alternativa corretta: c) 9.
Per conoscere il numero minimo di scuole è necessario conoscere il numero massimo di biglietti che ciascuna scuola può ricevere, considerando che tale numero deve essere uguale in entrambe le sessioni.
In questo modo calcoleremo il mdc compreso tra 400 e 320:
Il valore mdc trovato rappresenta il maggior numero di biglietti che ogni scuola riceverà, in modo che non ci siano avanzi.
Per calcolare il numero minimo di scuole che si possono scegliere, dobbiamo anche dividere il numero di biglietti per ogni sessione per il numero di biglietti che ogni scuola riceverà, quindi abbiamo:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Pertanto, il numero minimo di scuole sarà pari a 9 (5 + 4).
Alternativa: c) 9.
domanda 6
(Cefet/RJ - 2012) Qual è il valore dell'espressione numerica ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Alternativa corretta: a) 0.2222
Per trovare il valore dell'espressione numerica, il primo passo è calcolare il mmc tra i denominatori. Così:
Il mmc trovato sarà il nuovo denominatore delle frazioni.
Tuttavia, per non modificare il valore della frazione, dobbiamo moltiplicare il valore di ciascun numeratore per il risultato della divisione di mmc per ciascun denominatore:
Risolvendo l'addizione e la divisione, abbiamo:
Alternativa: a) 0.2222
domanda 7
(EPCAR - 2010) Un agricoltore pianterà fagioli in un letto diritto. Per questo, iniziò a segnare i luoghi in cui avrebbe piantato i semi. La figura sottostante indica i punti già segnati dall'agricoltore e le distanze, in cm, tra di essi.
Questo contadino segnò poi altri punti tra quelli esistenti, in modo che la distanza d tra tutti loro era lo stesso e il più grande possibile. Se X rappresenta il numero di volte la distanza d è stato ottenuto dall'agricoltore, quindi X è un numero divisibile per
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Alternativa corretta: d) 7.
Per risolvere la domanda, dobbiamo trovare un numero che divida contemporaneamente i numeri presentati. Poiché la distanza è richiesta per essere il più lontano possibile, calcoliamo il mdc tra di loro.
In questo modo la distanza tra ogni punto sarà pari a 5 cm.
Per trovare il numero di volte che questa distanza è stata ripetuta, dividiamo ogni segmento originale per 5 e aggiungiamo i valori trovati:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Il numero trovato è divisibile per 7, poiché 21,7 = 147
Alternativa: d) 7
Vedi anche: Multipli e divisori
