Le quantità proporzionali hanno i loro valori aumentati o diminuiti in una relazione che può essere classificata come proporzionalità diretta o inversa.
Cosa sono le quantità proporzionali?
Una quantità è definita come qualcosa che può essere misurata o calcolata, sia che si tratti di velocità, area o volume di a materiale, ed è utile confrontare con altre misure, spesso della stessa unità, che rappresentano un Motivo.
La proporzione è una relazione di uguaglianza tra rapporti e, quindi, presenta il confronto di due quantità in situazioni diverse.
L'uguaglianza tra a, b, c e d si legge come segue: a sta a b come c sta a d.
La relazione tra le grandezze può avvenire in modo direttamente o inversamente proporzionale.
Come funzionano le quantità direttamente e inversamente proporzionali?
Quando la variazione di una grandezza fa variare l'altra nella stessa proporzione, abbiamo una proporzionalità diretta. La proporzionalità inversa si osserva quando un cambiamento in una quantità produce un cambiamento opposto nell'altro.
proporzionalità diretta
Due grandezze sono direttamente proporzionali quando la variazione dell'una implica la variazione dell'altra nella stessa proporzione, cioè raddoppiando l'una, raddoppia anche l'altra; riducendo della metà, anche l'altro riduce della stessa quantità... e così via.
Graficamente, la variazione direttamente proporzionale di una quantità rispetto ad un'altra forma una retta passante per l'origine, poiché abbiamo y = k.x, dove k è una costante.
Esempio di proporzionalità diretta
Una stampante, ad esempio, ha la capacità di stampare 10 pagine al minuto. Se raddoppiamo il tempo, raddoppiamo il numero di pagine stampate. Allo stesso modo, se fermiamo la stampante in mezzo minuto, otteniamo la metà del numero di stampe previste.
Ora vedremo con i numeri la relazione tra le due quantità.
In una tipografia si realizzano stampe di libri scolastici. In 2 ore vengono realizzate 40 stampe. In 3 ore la stessa macchina produce altre 60 impressioni, in 4 ore 80 impressioni e in 5 ore 100 impressioni.
| Tempo (ore) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Impressioni (numero) | 40 | 60 | 80 | 100 |
La costante di proporzionalità tra le quantità è ricavata dal rapporto tra il tempo di lavoro della macchina e il numero di copie eseguite.
Il quoziente di questa successione (1/20) si chiama costante di proporzionalità (K).
Il tempo di lavoro (2, 3, 4 e 5) è direttamente proporzionale al numero di copie (40, 60, 80 e 100), perché raddoppiando il tempo di lavoro raddoppia anche il numero di copie.
proporzionalità inversa
Due quantità sono inversamente proporzionali quando l'aumento dell'una implica la riduzione dell'altra, cioè raddoppiando una quantità, quella corrispondente si riduce della metà; triplicando una grandezza, l'altra la riduce a una terza... e così via.
Graficamente, la variazione inversamente proporzionale di una quantità rispetto ad un'altra forma un'iperbole, poiché abbiamo y = k/x, dove k è una costante.
Esempio di proporzione inversa
Quando la velocità è aumentata, il tempo per completare un corso è più breve. Allo stesso modo, quando si riduce la velocità, sarà necessario più tempo per fare lo stesso percorso.
Vedi sotto un'applicazione della relazione tra queste quantità.
João ha deciso di contare il tempo impiegato per andare in bicicletta da casa a scuola a velocità diverse. Nota la sequenza registrata.
| Tempo (min) | 2 | 4 | 5 | 1 |
| Velocità (m/s) | 30 | 15 | 12 | 60 |
Possiamo stabilire la seguente relazione con i numeri di sequenza:
Scrivendo come ragioni uguali, abbiamo:
In questo esempio, la sequenza temporale (2, 4, 5 e 1) è inversamente proporzionale alla velocità media di pedalata (30, 15, 12 e 60) e alla costante di proporzionalità (k) tra queste quantità è 60.
Si noti che quando un numero di sequenza raddoppia, il numero di sequenza corrispondente viene dimezzato.
Vedi anche: Proporzionalità
Esercizi commentati su grandezze direttamente e inversamente proporzionali
domanda 1
Classificare le quantità elencate di seguito in direttamente o inversamente proporzionali.
a) Consumo di carburante e chilometri percorsi da un veicolo.
b) Numero di mattoni e area di un muro.
c) Sconto praticato su un prodotto e prezzo finale pagato.
d) Numero di rubinetti con lo stesso flusso e tempo per riempire una piscina.
Risposte corrette:
a) Grandezze direttamente proporzionali. Più chilometri percorre un veicolo, maggiore è il consumo di carburante per completare il percorso.
b) Grandezze direttamente proporzionali. Maggiore è l'area di un muro, maggiore è il numero di mattoni che ne faranno parte.
c) Grandezze inversamente proporzionali. Maggiore è lo sconto applicato sull'acquisto di un prodotto, minore sarà l'importo che verrà pagato per la merce.
d) Grandezze inversamente proporzionali. Se i rubinetti hanno lo stesso flusso, rilasciano la stessa quantità di acqua. Pertanto, più rubinetti sono aperti, minore è il tempo necessario per il rilascio della quantità di acqua necessaria per riempire la piscina.
Domanda 2
Pedro ha una piscina in casa sua che misura 6 m di lunghezza e contiene 30.000 litri d'acqua. Anche suo fratello Antônio decide di costruire una piscina con la stessa larghezza e profondità, ma lunga 8 m. Quanti litri d'acqua ci stanno nella piscina di Antônio?
a) 10.000 L
b) 20 000 L
c) 30.000 litri
d) 40 000 L
Risposta corretta: d) 40 000 L.
Raggruppando le due grandezze date nell'esempio, abbiamo:
| grandezze | Peter | Antonio |
| Lunghezza piscina (m) | 6 | 8 |
| Flusso d'acqua (L) | 30 000 | X |
Secondo il proprietà fondamentale delle proporzioni, nel rapporto tra le quantità, il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi e viceversa.
Per risolvere questo problema usiamo il X come sconosciuto, cioè il quarto valore che deve essere calcolato dai tre valori indicati nell'affermazione.
Usando la proprietà fondamentale delle proporzioni, calcoliamo il prodotto delle medie e il prodotto degli estremi per trovare il valore di x.
Si noti che tra le quantità ci sono proporzionalità diretta: maggiore è la lunghezza della piscina, maggiore è la quantità di acqua che contiene.
Vedi anche: Rapporto e Proporzione
Domanda 3
In una caffetteria, il signor Alcides prepara ogni giorno il succo di fragola. In 10 minuti e utilizzando 4 frullatori, la caffetteria può preparare i succhi che i clienti ordinano. Per ridurre i tempi di preparazione, Alcides ha raddoppiato il numero di frullatori. Quanto tempo ci è voluto perché i succhi fossero pronti con gli 8 frullatori funzionanti?
a) 2 minuti
b) 3 minuti
c) 4 minuti
d) 5 minuti
Risposta corretta: d) 5 min.
|
Frullatori (numero) |
Tempo (minuti) |
| 4 | 10 |
| 8 | X |
Si noti che tra le grandezze della domanda ci sono proporzionalità inversa: più frullatori fanno il succo, meno tempo ci vorrà perché tutti siano pronti.
Pertanto, per risolvere questo problema, è necessario invertire la grandezza del tempo.
Applichiamo quindi la proprietà fondamentale della proporzione e risolviamo il problema.
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