Conosciamo come numeri reali tutti i numeri razionali e irrazionale. Studiando il insiemi numerici, è importante capire che seguono i bisogni e la storia dell'umanità, gli insiemi numerici sono:
- insieme di numeri naturali
- set di numeri interi
- insieme di numeri razionali
- insieme di numeri irrazionali
- insieme di numeri reali
voi i numeri reali hanno proprietà quali: associativo, commutativo, esistenza dell'elemento neutro per addizione e moltiplicazione, esistenza di un elemento inverso nella moltiplicazione, e distributivo. i numeri reali può essere rappresentato sulla linea reale — come rappresentarli in modo ordinato.
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Quali sono i numeri reali?
Conosciamo come numeri reali l'insieme formato da unione di numeri razionali e irrazionali. È abbastanza comune lavorare con loro, ma l'insieme dei numeri reali non è stato il primo ad apparire nella storia.
numeri naturali
oh primo insieme numerico era formato dai numeri naturali. Sono stati creati dal bisogno fondamentale degli esseri umani di contare e contare gli oggetti della loro vita quotidiana. voi
numeri naturali sono:N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
interi
Con l'evoluzione della società, i desideri dell'essere umano stavano cambiando e il bisogno di lavorare con numeri negativi. Operazioni come 4 – 6, che nell'insieme dei numeri naturali non avevano senso, iniziarono a farlo con l'emergere di questo nuovo insieme. Il set di numeri interi si avvicinò con l'aggiunta di numeri negativi nell'insieme dei numeri naturali, cioè, it è formato dai numeri naturali e dal loro opposto.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
numeri razionali
Si scopre che, anche così, con l'aggiunta dei numeri negativi, l'insieme dei numeri interi non era sufficiente, poiché il antico Egitto, è abbastanza comune usare numeri che non sono interi. Fu allora che si realizzò la necessità di formalizzare un nuovo insieme: l'insieme formato da tutti numeri che possono essere rappresentati da una frazione è noto come numeri razionali.
A differenza dell'insieme dei numeri interi, nel razionale non è possibile scrivere un elenco di termini con i loro predecessori e successori, perché, dati i numeri razionali, ce ne sarà sempre un altro numero razionale fra loro. Ad esempio, tra 1 e 2 c'è 1,5; tra 1 e 1,5 c'è 1,25; e così via. Pertanto, per rappresentare i numeri razionali, usiamo la seguente notazione:
In questa notazione il numero razionale è quello che può essere rappresentato dalla frazione Il sotto B, su cosa Il è un numero intero e B è un numero intero diverso da zero.
Nell'insieme dei numeri razionali, tutti i numeri interi sono stati inclusi che erano già noti, in quanto possono essere rappresentati tutti come una frazione, oltre ai numeri decimali esatti e al decime periodiche, positivo e negativo.
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numeri irrazionali
Contrariamente alla definizione di numeri razionali, ci sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione. Alcuni matematici li hanno studiati nel tempo, nel tentativo di fare questa rappresentazione, ma non è possibile. Questi numeri sono i decime non periodiche e la radici non esatto, che di conseguenza finiscono per generare decime non periodiche. Il numero π, ad esempio, è un numero irrazionale abbastanza comune nella vita di tutti i giorni. L'insieme dei numeri irrazionali non è elencabile, come lo sono i numeri razionali, ed è rappresentato dalla lettera io.
Esempi:
- √2 → le radici non esatte sono numeri irrazionali;
- -√5 → radici non esatte anche se negative sono numeri irrazionali;
- 3.123094921… → i decimali non periodici sono numeri irrazionali.
numeri reali
Poiché tutti i numeri naturali e interi sono considerati razionali, finora i numeri possono essere classificato in due grandi insiemi, l'insieme dei numeri razionali e l'insieme dei numeri irrazionale. L'insieme dei numeri reali non è altro che il unione di numeri razionali e irrazionali.
R = {Q U I}
Finora, tutti i numeri che conosciamo sono chiamati numeri reali.
Operazioni con numeri reali
Le operazioni che coinvolgono i numeri reali sono quelle note per tutti i precedenti insiemi di numeri. Sono loro:
- addizione
- sottrazione
- divisione
- moltiplicazione
- potenziamento
- radicamento
Per eseguire una di queste operazioni tra numeri reali, non c'è differenza rispetto alle operazioni con numeri precedenti.
Inoltre, considerando tali operazioni, è importante sottolineare che ci sono proprietà nell'insieme dei numeri reali.
Proprietà dei numeri reali
È importante capire che le proprietà dei numeri reali sono conseguenze della sua definizione e sono utili per eseguire operazioni. Sono loro:
- esistenza di un elemento neutro per addizione e moltiplicazione
- proprietà commutativa
- proprietà associativa
- proprietà distributiva
- esistenza di un inverso
elemento neutro
Essere Il un numero reale.
C'è un numero che, aggiunto a Il, risulta di per sé Il:
Il + 0 = Il
0 è l'elemento neutro della somma..
C'è un numero che, moltiplicando per Il, risulta di per sé Il.
Il · 1 = Il
1 è l'elemento neutro della moltiplicazione.
Proprietà commutativa
Essere Il e B due numeri reali.
Sia nell'addizione che nella moltiplicazione, l'ordine dei numeri non cambierà il risultato.
Il + B = B + Il
a · b = b · a
proprietà associativa
Essere Il, B e ç numeri reali.
Sia nell'addizione che nella moltiplicazione, i due numeri operati sono indifferenti a qualsiasi ordine.
(Il + B) + ç = Il + (B + ç)
(a · b) · ç = Il· (avanti Cristo)
proprietà distributiva
Essere Il, B e ç numeri reali.
La proprietà distributiva mostra che that il prodotto della somma è uguale alla somma dei prodotti.
ç (a + b) = ca+cb
Esistenza di un inverso
Essere Il un numero reale diverso da zero.
per ogni numero reale Il diverso da zero, esiste un numero tale che il prodotto entra product Il e questo numero è uguale a 1.
rappresentazione in rettilineo
Possiamo rappresentare l'insieme dei numeri reali in una linea, poiché esiste a principio di ordine ben definito per lui. Questa rappresentazione sulla linea è conosciuta come la linea reale o riè numerico ed è abbastanza comune, anche nello studio del piano cartesiano.
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esercizi risolti
Domanda 1 - Si prega di giudicare le seguenti affermazioni:
I – I decimali periodici sono numeri reali.
II – Ogni numero reale è razionale o irrazionale.
III – Non tutti i numeri interi sono naturali.
Analizzando le affermazioni, possiamo dire che:
A) solo io sono falso.
B) solo II è falso.
C) solo III è falso.
D) sono tutte vere.
E) sono tutte false.
Risoluzione
Alternativa D.
I – Vero, poiché le decime sono numeri irrazionali, di conseguenza, sono numeri reali.
II – Vero, poiché l'insieme dei numeri reali è l'unione dei numeri reali e irrazionali.
III – Vero, poiché i numeri negativi, come -2 e -5, sono interi, ma non naturali.
Domanda 2 - Dai un'occhiata alle seguenti proprietà:
I - proprietà commutativa
II - proprietà distributiva
III - proprietà associativa
Analizza le seguenti operazioni e contrassegnale con il numero delle rispettive proprietà:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Quale delle alternative corrisponde all'ordine corretto delle proprietà:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Risoluzione
Alternativa A.
1 - (II) In questo caso si è verificata la proprietà distributiva, poiché si noti che 3 è stato moltiplicato per ciascuno dei fattori dell'operazione.
2 - (I) In questo caso, l'ordine dei fattori non cambia il prodotto, commutatività della moltiplicazione.
3 - (III) Abbiamo la proprietà associativa, in quanto l'ordine in cui si sommano questi elementi non cambia la somma.
4 - (I) Anche qui abbiamo la commutatività, in quanto l'ordine delle parcelle non cambia la somma.
