Potenziamento: come calcolare, tipi di potenza, esercizi

IL potenziamento è un'operazione matematica che rappresenta il moltiplicazione numero successivo da solo. Moltiplicando il 3 per se stesso 4 volte, questo può essere rappresentato dalla potenza 3 elevata a 4: 3⁴.

 Questa operazione ha proprietà importanti che facilitano il calcolo delle potenze. Proprio come la moltiplicazione ha la divisione come operazione inversa, il il potenziamento ha il radicamento come operazione inversa.

Ad ogni elemento del potenziamento viene assegnato un nome specifico:

Il^no = B

la → base

n→ esponente

b→potenza

Leggi anche: Potenziamento e frazionamento di frazioni

Come leggere una potenza?

Il potenziamento è un'operazione matematica.

Saper leggere una centrale elettrica è un compito importante. La lettura avviene sempre partendo dal numero in base elevato al numero in esponente, come negli esempi seguenti:

Esempi:

a) 4³ → Quattro al tre, o quattro alla terza potenza, o quattro al cubo.

b) 3⁴ → Tre alla quattro, o tre alla quarta potenza.

c) (-2)¹ → Meno due all'uno, o meno due alla prima potenza.

d) 8² → Otto al due, o otto alla seconda potenza, o otto al quadrato.

Le potenze dell'esponente 2 possono anche essere chiamate potenze al quadrato e le potenze di grado 3 possono essere chiamate potenze al cubo, come negli esempi precedenti.

Calcolo della potenza

Per trovare il valore di una potenza, dobbiamo eseguire le moltiplicazioni come negli esempi seguenti:

a) 3²= 3 · 3 = 9

b) 5³= 5,5·5 = 125

c) 10⁶ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000

Tipi di alimentazione

Ci sono alcuni tipi specifici di potere.

1° caso – Quando la base è diversa da zero, possiamo dire che ogni numero elevato a zero è uguale a 1.

Esempi:

a) 10⁰=1

b) 1293⁰=1

c) (-32)⁰=1

d) 8⁰=1

2° caso - Ogni numero elevato a 1 è se stesso.

Esempi:

a) 9¹ = 9

b) 12¹ = 12

c) (-213)¹= - 213

d) 0¹ = 0

3° caso: 1 a qualsiasi potenza è uguale a 1.

Esempi:

a) 1²¹ = 1

b) 1³ = 1

c) 1⁵⁰⁰=1

4° caso - Base di un potenziamento negativo

Quando la base è negativa, la separiamo in due casi: quando l'esponente è dispari, la potenza sarà negativa; quando l'esponente è pari, la risposta sarà sì.

Esempi:

a) (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = - 8 → Nota che l'esponente 3 è dispari, quindi la potenza è negativa.

b) (-2)⁴= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 → Notare che l'esponente 4 è pari, quindi la potenza è positiva.

Leggi anche: Potenze con esponente negativo

Potenza con esponente negativo

Per calcolare il potenza con esponente negativo, scriviamo l'inverso della base e cambiamo il segno dell'esponente.

Proprietà di miglioramento

Oltre ai tipi di miglioramento mostrati, il miglioramento ha proprietà importante per facilitare il calcolo della potenza.

→ 1° proprietà - Moltiplicazione di potenze della stessa base

Quando eseguiamo una moltiplicazione di potenze della stessa base, manteniamo la base e aggiungiamo gli esponenti.

Esempi:

Il) 2⁴·2³ = 2⁴⁺³=2⁷

b) 5³ ·5⁵ · 5²= 5³⁺⁵⁺² = 5¹⁰

→ 2a proprietà – Divisione di potenza della stessa base

Quando troviamo una divisione di potenza della stessa base, manteniamo la base e sottraiamo gli esponenti.

Esempi:

a) 3⁷: 3⁵ = 3^7-5 = 3²

b) 2³ : 2⁶ = 2^3-6 = 2^-3

→ 3a proprietà - Potenza di potenza

Quando calcoliamo la potenza di una potenza, possiamo mantenere la base e moltiplicare gli esponenti.

Esempi:

a) (5²)³ = 5^2·3 = 5⁶

b) (3⁵)⁴ = 3^5·4 = 3 ²⁰

→ 4a proprietà - Potenza di un prodotto

Quando c'è una moltiplicazione di due numeri elevati a un esponente, possiamo elevare ciascuno di quei numeri all'esponente.

Esempi:

a)(5 · 7)³ = 5³ · 7³

b)(6·12)⁸ = 6⁸ · 12⁸

→ 5a proprietà - Rapporto di potenza

Per calcolare le potenze di un quoziente o anche a frazione, il modo di eseguire è molto simile alla quarta proprietà. Se c'è una divisione elevata a un esponente, possiamo calcolare separatamente la potenza del dividendo e del divisore.

a) (8:5)³ = 8³: 5³

Potenziamento e radiazioni

ILradicamento è l'operazione inversa del potenziamento, cioè annulla ciò che è stato fatto dal potere. Ad esempio, quando calcoliamo la radice quadrata di 9, cerchiamo il numero al quadrato che fa 3. Quindi, per capirne uno, è essenziale padroneggiare l'altro. Nelle equazioni, è anche abbastanza comune usare la radiciazione per eliminare una potenza di un'incognita, e anche il contrario, cioè usare il potenziamento per eliminare la radice quadrata di uno sconosciuto.

Esempio

- Calcola il valore di x, sapendo che x³ = 8.

Per calcolare il valore di x è necessario eseguire l'operazione inversa del potenziamento, cioè della radiciazione. In realtà, stiamo cercando il numero che, al cubo, risulta nel numero 8.

Questa relazione tra radicamento e potenziamento rende essenziale padroneggiare le regole di potenziamento per far progredire l'apprendimento del radicamento.

Leggi anche tu: Come calcolare le radici usando le potenze?

esercizi risolti

1) (PUC-RIO) Il numero più alto di seguito è:

a) 3³¹

b) 8¹⁰

c) 16⁸

d) 81⁶

e) 243⁴

Risoluzione:

Eseguire il confronto calcolando ciascuno di essi sarebbe un compito difficile, quindi semplifichiamo le alternative,

a) 3³¹ → è già semplificato

b) 8 = 2³ → (2³)¹⁰ = 2³⁰

c) 16 = 2⁴ → (2⁴)⁸ = 2³²

d) 81 = 3⁴ → (3⁴)⁶ = 3²⁴

e) 243=3⁵ → (3⁵)⁴ = 3²⁰

Pertanto, il potere più grande è la lettera A.

2) La semplificazione dell'espressione [3¹⁰: (3⁵. 3)²]^- è lo stesso di:

a) 3^-4

b) 3⁴

c) 3⁰

d) 3²

e) 3^-2

Risoluzione:

[3¹⁰: (3⁵. 3)²]^-2

[3¹⁰: (3⁶)²]^-2

[3¹⁰: 3¹²]^-2

[3^-2]^-2

3⁴

^{Lettera b.}