IL decima periodica è un numero che ha la sua parte decimale infinita e periodica, cioè nella sua parte decimale c'è un numero che si ripete all'infinito. considerato un numero razionale, può essere rappresentato come a frazione, che è chiamato frazione generatrice. Può anche essere semplice o composto.
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Rappresentazione della decima periodica
Oltre alla forma frazionaria, nota come frazione generatrice, il decimale periodico può essere rappresentato come a numero decimale a due vie. Possiamo inserire, alla fine del numero, puntini di sospensione (…) oppure possiamo mettere a trattino sopra il ciclo (parte che si ripete nella decima), quindi la stessa decima può essere rappresentata in due modi. Esempi:
semplice decima periodica
Un semplice decimale periodico ha a parte intera (che viene prima della virgola) e il l'andamento del tempo, che viene dopo la virgola.
Esempi:
1,333…
1→ parte intera
3 → periodo
0,76767676…
0 → parte intera
76 → periodo
decima periodica composta
Un decimale periodico composto ha parte intera (che viene prima della virgola), parte non periodica e l'andamento del tempo, che viene dopo la virgola. Ciò che differenzia un decimale periodico semplice da uno composto è che, in quello semplice, c'è solo il punto dopo la virgola; in composto, c'è una parte che non si ripete dopo la virgola.
Esempi:
1,5888…
1 → parte intera
5 → parte non periodica
8→ periodo
32,01656565…
32 → parte intera
01 → parte non periodica
65 → periodo
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frazione generatrice
Trovare la frazione che genera la decima non è sempre un compito facile. Dobbiamo dividerlo in due casi: quando la decima è semplice e quando è composta. Per trovare la frazione generatrice, usiamo un'equazione.
→ Frazione generativa di un semplice decimale periodico
Esempio:
- Troviamo il frazione generatrice della decima 1.353535…
Sia x = 1,353535..., poiché questa decima ha 2 numeri nel suo periodo (35), moltiplichiamo x per 100. Poi,
100x = 135,3535...
Ora eseguendo la sottrazione,
Ce n'è uno metodo pratico per trovare la frazione generatrice di un semplice decimale periodico che evita la costruzione di equazioni. Ritroviamo la frazione generatrice della decima 1,353535…, ma con il metodo pratico.
1° passo: identifica il periodo e la parte intera.
Parte intera → 1
Periodo → 35
2° passo: trova il numeratore.
Il numeratore è il numero formato dalla parte intera e dal punto (nell'esempio è 135) meno la parte intera, ovvero:
135 – 1 = 134
3° passo: trova il denominatore.
Per questo, valutiamo quanti numeri ci sono nel periodo della decima, e per ogni numero, aggiungeremo il numero 9 al denominatore. Poiché in questo caso ci sono due numeri, il denominatore è 99. Pertanto, la frazione generatrice è:
→ Frazione generativa di un decimale periodico composto
Un po' più complicato da trovare, la frazione generatrice di un decimale periodico composto può essere determinata anche mediante a equazione.
Esempio:
- Troviamo la frazione generatrice del decimale 2.13444...
Sia x = 2,13444…. moltiplichiamo per 100 in modo che, dopo la virgola, rimanga solo la parte periodica. Poi,
100x = 213.444….
D'altra parte, sappiamo che 1000x= 2134.444….
Ora faremo la sottrazione:
Per il decimale periodico composto, c'è anche a metodo pratico, che useremo per trovare la frazione generatrice del decimale periodico composto 2,13444…
1° passo: identificare le parti della decima periodica.
Parte intera→ 2
Parte non periodica → 13
Periodo →4
2° passo: trova il numeratore.
Per calcolare il numeratore, scriviamo il numero formato da parte intera, parte non periodica e periodo, cioè 2134 meno la parte intera e la parte non periodica, cioè 213.
2134 – 213 = 1921
3° passo: trova il denominatore
Al denominatore, per ogni numero del periodo, aggiungiamo a 9e per ogni numero nella parte non periodica, a 0.Nell'esempio, il denominatore è 900.
La frazione generatrice è:
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esercizi risolti
1) Tra i seguenti numeri, segna quello che corrisponde a un decimale periodico composto.
a) 3.14159284...
b) 2.21111
c) 0.3333….
d) 1.21111….
Risoluzione:
Alternativa D.
Analizzando le alternative, dobbiamo:
a) È una decima non periodica. Renditi conto che, per quanto infinito, non c'è modo di prevedere i prossimi numeri.
b) Non è una decima.
c) È un semplice decimale periodico.
d) Vero, in quanto decimale periodico composto.
2) La frazione generatrice della decima 12,3727272... è?
a) 1372/9999
b) 12249/990
c) 12/999
d) 123/990
Risoluzione:
Con il metodo pratico, abbiamo: 12372 – 123= 12249, che sarà il numeratore.
Analizzando la parte decimale:
3 → parte non periodica
72 → periodo
990→ denominatore
La frazione che meglio rappresenta è 12249/990, lettera B.
