IL decomposizione in fattori primi è uno strumento molto importante nello sviluppo matematico, in quanto è possibile semplificare le espressioni numeriche o algebrico e calcola MDC o MMC di numeri interi.
La scomposizione in fattori primi è uno dei risultati più importanti nel campo dell'algebra ed è formalmente conosciuta come Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, che afferma che tutti intero positivo maggiore di 1 può essere scritto (o scomposto) nella forma di moltiplicazione di numeri primi.
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Come scomporre in fattori primi?
È essenziale comprendere il concetto di numeri primi, poiché li useremo per scomporre i numeri interi. Qui torneremo brevemente alla definizione di numeri primi.
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I numeri primi sono quelli presenti nella tua lista di divisori solo il il numero 1 e loro stessi. Per verificare se i numeri 11 e 21 sono primi o meno, ad esempio, dobbiamo elencare i divisori di entrambi i numeri: D (11) = {1, 11} D (21) = {1, 3, 7, 21} Si noti che quando si elencano i divisori di 11, compaiono solo il numero 1 e se stesso, quindi il il numero 11 è primo, che non si applica al numero 21, che ha più numeri di 1 e 21, quindi il numero 21 non è primo. il principale numeri primi che usiamo per eseguire la scomposizione sono i primi, quindi è molto importante conoscere almeno i seguenti numeri primi: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …} |
La scomposizione in fattori primi è uno strumento molto potente in matematica, poiché consente di semplificazione di espressioni algebriche e numeriche. Formalmente, la scomposizione in fattori primi è nota come Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, che afferma:
"Ogni numero intero maggiore di 1 può essere scritto come moltiplicazione di numeri primi."
Inoltre, questa scomposizione è unica per ogni numero, cioè, scomponendo il numero 12, ad esempio, sarà l'unico con tale fattorizzazione. Il numero che ammette una scomposizione si chiama composto.
Come scomporre un numero composto?
Per scomporre un numero composto, dobbiamo eseguire divisioni numeri primi successivi – se la divisione è possibile – fino a quando il quoziente è uguale a 1. Alla fine, dobbiamo scrivere i numeri primi utilizzati in forma di moltiplicazione (forma fattorizzata). Vedere gli esempi di seguito:
Esempio 1
Scrivi il numero 24 in forma fattorizzata.
Per scrivere il numero 24 in forma fattorizzata, dobbiamo dividerlo per il primo numero primo possibile, cioè dividere il numero 24 per un numero primo in cui la divisione è esatta.
Usando il algoritmo di divisione, dividiamo il 24 per2.
Il quoziente trovato ora era il numero 12, quindi dobbiamo dividerlo nuovamente per il primo numero primo la cui divisione è esatta, cioè per2.
Dobbiamo continuare questo processo fino a quando il quoziente è uguale a 1. Nota che ora il quoziente è uguale a 6, quindi possiamo dividerlo per 2, poiché il numero 2 è il primo numero primo per cui è ancora possibile la divisione.
Nota che il quoziente è ora uguale a 3, quindi non è possibile dividerlo per 2. In questi casi dividiamolo per il prossimo numero primo la cui divisione è esatta, cioè per3.
Poiché il quoziente è uguale a 1, la scomposizione è terminata, è ora sufficiente scrivere i numeri primi (che sono all'interno della chiave) come prodotto. Guarda:
24 = 2 · 2 ·2 · 3
24 = 23· 3
Vedi che abbiamo scritto il numero 24 in forma di prodotto. Ciò significa che abbiamo scomposto il numero 24 usando i numeri primi.
Esempio 2
Scrivi il numero 25 nella sua forma fattorizzata.
In questo esempio, utilizzeremo di nuovo l'algoritmo di divisione, ma lo scriveremo in modo diverso, vedi:
25 = 5 · 5 + 0
5 = 5 · 1 + 0
Il numero 25, in forma fattorizzata, è:
25 = 5 ·5
25 = 52
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Metodo pratico per eseguire la decomposizione in fattori primi
Guardando il metodo precedente, se il numero da fattorizzare è molto grande, come il numero 1024, abbiamo qualcosa abbastanza laborioso, poiché saranno necessarie divisioni successive per numeri primi fino a quando il quoziente non sarà uguale a 1.
Il metodo che vedremo di seguito non è altro che una semplificazione della divisione. Invece di scrivere tutti gli elementi della divisione (divisore, dividendo, quoziente e resto), mettiamo solo il numero primo per cui divideremo il numero da scomporre e il quoziente della divisione. Guarda gli esempi:
Fattorizzare il numero 60
Per scomporre il numero 60, seguiamo lo stesso passo dopo passo, ma scriviamo solo il quoziente della divisione (cioè il risultato) e il numero primo per cui divideremo il numero 60.
Guarda che quando dividi i 60 per2,il risultato è 30 e dividendo il numero 30 per 2, il risultato è 15, e così via finché il risultato della divisione è uguale a 1. Il processo rimane lo stesso, l'unica differenza è nella semplificazione delle informazioni.
Il numero 60, nella sua forma fattorizzata, è:
60 = 2 · 2 · 3 ·5
60 = 22 · 3 · 5
esercizi risolti
domanda 1 – Scomponi il numero 192 in fattori primi.
Risoluzione
Il numero 192, nella sua forma scomposta, è:
192 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
192 = 26 · 3
Domanda 2 – Consideriamo i numeri p e q tali che p = 25 · 5 eq = 32. Determinare il rapporto tra q e p.
Risoluzione
Il rapporto tra due numeri è la loro divisione. Dobbiamo sempre obbedire all'ordine in cui sono stati dati per dividere q per p. Prima di eseguire la divisione vera e propria, scomponiamo il numero q, cercando un modo per semplificare il calcolo.
Abbiamo q = 32, quindi possiamo scriverlo in questo modo:
q = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
q = 25
Ora, poiché abbiamo fattorizzato il numero q, possiamo assemblare il rapporto tra q e p e sostituire i valori.
