Abbiamo stabilito un occupazione quando mettiamo in relazione una o più quantità. Parte dei fenomeni naturali può essere studiata grazie allo sviluppo in quest'area della matematica. Lo studio delle funzioni si divide in due parti, abbiamo la parte generale, nella quale studiamo le concettigenerale, e la parte specifica, dove studiamo il casi particolari, come le funzioni polinomiali e le funzioni esponenziali.
Vedi anche: Come rappresentare graficamente una funzione?
Cosa sono le funzioni?
Una funzione è un'applicazione che mette in relazione gli elementi di due imposta non vuoto. Consideriamo due insiemi non vuoti A e B, dove una funzione f relazionare ogni elemento da A a solo uno elemento di B.
Per capire meglio questa definizione, immagina una corsa in taxi. Per ogni viaggio, cioè per ogni distanza percorsa, c'è un prezzo diverso e unico, cioè non ha senso che un viaggio abbia due prezzi diversi.
Possiamo rappresentare questa funzione che prende elementi dall'insieme A all'insieme B nei seguenti modi.
Si noti che per ogni elemento dell'insieme A esiste un singolo elemento correlato con lui nel set B. Ora possiamo pensare, dopotutto, quando una relazione tra due insiemi non sarà una funzione? Ebbene, quando un elemento dell'insieme A è correlato a due elementi distinti di B, oppure quando ci sono elementi dell'insieme A che non sono legati a elementi di B. Guarda:
In generale, possiamo scrivere una funzione algebricamente in questo modo:
f: LA → SI
x → y
Nota che la funzione prende elementi dall'insieme A (rappresentato da x) e li porta agli elementi di B (rappresentato da y). Possiamo anche dire che gli elementi dell'insieme B sono dati in termini degli elementi dell'insieme A, quindi possiamo rappresentare y con:
y = f(X)
Si legge: (y è uguale a f di x)
Dominio, codominio e immagine di ruolo
Quando abbiamo un ruolo f, agli insiemi correlati vengono dati nomi speciali. Quindi considera una funzione f che prende elementi dall'insieme A agli elementi dell'insieme B:
f: LA → SI
L'insieme A, da cui partono le relazioni, si chiama dominio della funzione, e l'insieme che riceve le "frecce" di questa relazione si chiama controdominio. Indichiamo questi insiemi come segue:
Df = A → Dominio di f
CDf = B → Controdominio di f
Il sottoinsieme del controdominio di una funzione formato da elementi che si riferiscono ad elementi dell'insieme si chiama Immagine della funzione ed è indicato con:
sonof → Immagine di f
- Esempio
Considera la funzione f: A → B rappresentata nel diagramma sottostante e determina il dominio, il controdominio e l'immagine.
Come detto, l'insieme A = {1, 2, 3, 4} è il dominio della funzione f,mentre l'insieme B = {0, 2, 3, –1} è il controdominio della stessa funzione. Si noti ora che l'insieme formato dagli elementi che ricevono la freccia (in arancione) formato dagli elementi {0, 2, –1} è un sottoinsieme del controdominio B, questo insieme è l'immagine della funzione f, così:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
sonof = {0, 2, –1}
Diciamo che il 0 è l'immagine dell'elemento 1 del dominio, così come il 2 è l'immagine degli elementi 2 e 3 del dominio, e –1 è l'immagine dell'elemento 4 del dominio. Per saperne di più su questi tre concetti, leggi: Ddominio, codominio e immagine.
Funzione suriettiva
Una funzione f: A → B sarà suriettiva o suriettiva se, e solo se, l'insieme di immagini coincide con il controdominio, cioè se tutti gli elementi del controdominio sono immagini.
Diciamo allora che una funzione è suriettiva quando tutti gli elementi del controdominio ricevono frecce. Se vuoi approfondire questo tipo di funzione, visita il nostro testo: Funzione overjet.
Funzione iniettiva
Una funzione f: A → B sarà iniettivo o iniettivo se, e solo se, elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel controdominio, cioè le immagini simili sono generate da elementi simili del dominio.
Si noti che la condizione è che elementi diversi del dominio si riferiscono a elementi diversi del controdominio, non essendoci alcun problema con gli elementi rimanenti nel controdominio. Per comprendere meglio questo concetto, puoi leggere il testo: Funzione iniettore.
Funzione biiettore
Una funzione f: A → B sarà biunivoco se, e solo se, è iniettore e suriettore contemporaneamente, cioè elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, e l'immagine coincide con il controdominio.
- Esempio
In ogni caso, giustificare se la funzione f (x) = x2 è iniettore, suriettore o biiettore.
Il) f: ℝ+ → ℝ
Nota che il dominio della funzione è tutti i reali positivi e il controdominio è tutti i numeri reali. Sappiamo che la funzione f è data da f (x) = x2, ora immagina che tutti i numeri reali positivi siano alto al quadrato, anche tutte le immagini saranno positive. Quindi possiamo concludere che la funzione è iniettante e non suriettiva, poiché i numeri reali negativi non riceveranno frecce.
Sta iniettando, poiché ogni elemento del dominio (ℝ+) riguarda solo un elemento del controdominio (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
La funzione, in questo caso, ha il dominio come tutti i reali e il controdominio come reali positivi. Sappiamo che qualsiasi numero reale al quadrato è positivo, quindi tutti gli elementi del controdominio hanno ricevuto frecce, quindi la funzione è suriettiva. Non verrà iniettato perché gli elementi di dominio si riferiscono a due elementi di controdominio, ad esempio:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
In questo esempio la funzione ha dominio e controdominio come numeri reali positivi, quindi la funzione è biettore, perché ogni numero reale positivo si riferisce a un singolo numero reale positivo del controdominio, in questo caso il quadrato del numero. Inoltre, tutti i numeri di controdominio hanno ricevuto frecce.
funzione composta
IL funzione composta è associato al idea scorciatoia. Consideriamo tre insiemi non vuoti A, B e C. Considera anche due funzioni f e g, dove la funzione f prende gli elementi x dall'insieme A agli elementi y = f (x) dall'insieme B, e la funzione g prende gli elementi y = f (x) agli elementi z dall'insieme C.
La funzione composita riceve questo nome perché è un'applicazione che porta elementi dall'insieme A direttamente agli elementi dell'insieme C, senza passare per l'insieme B, attraverso la composizione delle funzioni fe g. Guarda:
La funzione indicata con (f o g) porta gli elementi dall'insieme A direttamente all'insieme C. Si chiama funzione composta.
- Esempio
Considera la funzione f(x) = x2 e la funzione g (x) = x + 1. Trova le funzioni composte (f o g) (x) e (g o f) (x).
La funzione f o g è data dalla funzione g applicata a f, cioè:
(f o g)(x) = f (g(x))
Per determinare questa funzione composta, dobbiamo considerare la funzione f,e, al posto della variabile x, dobbiamo scrivere la funzione g. Guarda:
X2
(x+1)2
(f o g)(x) = f (g(x)) = x2 + 2x + 1
Analogamente, per determinare la funzione composta (g o f)(x), dobbiamo applicare la funzione f nel ruolo g, ovvero consideriamo la funzione g e scriviamo la funzione f al posto della variabile. Guarda:
(x + 1)
X2 + 1
Pertanto, la funzione composta (g o f)(x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Funzione pari
Considera una funzione f: A → ℝ, dove A è un sottoinsieme dei reali non vuoti. Una funzione f sarà pari solo per tutti gli x reali.
Esempio
Considera la funzione f: ℝ → ℝ, dato da f (x) = x2.
Nota che per qualsiasi valore x reale, se al quadrato, il risultato è sempre positivo, ovvero:
f(x) = x2
e
f(–x) = (–x)2 = x2
Quindi f(x) = f(–x) per qualsiasi valore x reale, quindi la funzione f è coppia.
Leggi anche:Proprietà di potenzas - cosa sono e come? a usoaria?
funzione unica
Considera una funzione f: A → ℝ, dove A è un sottoinsieme dei reali non vuoti. Una funzione f sarà dispari solo per tutti gli x reali.
- Esempio
Considera la funzione f: ℝ → ℝ, dato da f (x) = x3.
Vedi che per qualsiasi valore di x possiamo scrivere che (–x)3 = -x3. Guarda alcuni esempi:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Quindi possiamo dire che:
f(–x) = (–x)3 = –X3
f(–x) = (–x)3 = –f(x)
Quindi per ogni x reale f(–x) = –f (x), e quindi la funzione f (x) = x3 è unico.
funzione crescente
Una funzione f é in crescita ad un intervallo se e solo se, man mano che gli elementi del dominio crescono, crescono anche le loro immagini. Guarda:
Nota che x1 > x2 e lo stesso accade con l'immagine, quindi possiamo stabilire una condizione algebrica per la funzione f essere in crescita.
Funzione discendente
Una funzione f é decrescente ad un intervallo se e solo se, al crescere degli elementi del dominio, le loro immagini diminuiscono. Guarda:
Vedi che, nel dominio della funzione, abbiamo che x1 > x2, tuttavia ciò non si verifica nell'immagine della funzione, dove f (x1) < f(x2). Quindi possiamo stabilire una condizione algebrica per funzioni decrescenti. Guarda:
funzione costante
Come dice il nome, a la funzione è costante quando, per qualsiasi valore dominio, il valore dell'immagine è sempre lo stesso.
funzione correlata
IL funzione affine o polinomio di primo grado è scritto nella forma:
f (x) = ax + b
Dove a e b sono numeri reali, a è diverso da zero e il tuo grafico è una linea. La funzione ha un dominio reale e anche un controdominio reale.
funzione quadratica
IL funzione quadratica o la funzione polinomiale di secondo grado è data da un polinomio di seconda elementare, così:
f(x) = ax2 + bx + c
Dove a, b e c sono numeri reali diversi da zero e il tuo grafico è a parabola. Il ruolo ha anche un dominio reale e un dominio contatore.
funzione modulare
IL funzione modulare con variabile x trova-Se all'interno del modulo ed algebricamente è espresso da:
f(x) = |x|
La funzione ha anche dominio reale e dominio contatore, ovvero possiamo calcolare il valore assoluto di qualsiasi numero reale.
funzione esponenziale
IL funzione esponenzialevisualizza la variabile x nell'esponente. Ha anche un dominio reale e un controdominio reale ed è descritto algebricamente da:
f(x) = aX
Dove a è un numero reale maggiore di zero.
funzione logaritmica
IL funzione logaritmica ha il variabile in logaritmo e il dominio formato da numeri reali maggiori di zero.
Funzioni trigonometriche
A funzioni trigonometriche avere il variabile x che coinvolge rapporti trigonometrici, i principali sono:
f(x) = peccato(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
funzione radice
La funzione radice è caratterizzata dall'avere il variabile all'interno della radice, con questo, se l'indice della radice è pari, il dominio della funzione diventa solo i numeri reali positivi.
di Robson Luiz
Insegnante di matematica