La somma dei termini di a progressione aritmetica (PA) può essere ottenuto attraverso il seguente formula:
In questa formula, Sno rappresenta il somma di termini, a1 è il primotermine e ilno è il scorsotermine della BP in questione, n è il numero di termini che saràsommati insieme. Per aggiungere i termini di una progressione aritmetica, è sufficiente sostituire i valori in questa formula.
Esempi di sommatoria di termini in una PA
Di seguito sono riportati due esempi di come formula presentato sopra può essere utilizzato per ottenere il sommaA partire daltermini di una PADELLA.
→ Esempio 1
Determina il sommaA partire daltermini delle seguenti PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).
Per utilizzare la formula data, nota che:
Il1 = 2
Ilno = 40
n = 20
Quest'ultimo dato (numero di termini) è stato ottenuto contando i termini della PA. Applicando questi dati nella formula, avremo:
Così il sommaA partire daltermini di questa PA è 420.
Nota che questa formula è valida solo per progressioni aritmetiche che hanno un numero finito di termini. Se la PA è infinita, sarà necessario limitare il numero di termini che verranno aggiunti. Quando ciò si verifica, potrebbe essere necessario utilizzare altre conoscenze sull'AP per ottenere l'ultimo termine da aggiungere.
Vedi sotto un esempio di somma dei termini di una PA infinita:
→ Esempio 2
Determinare la somma dei primi 50 termini dei seguenti BP: (5, 10, 15, …).
Nota che questo PADELLAè infinito, questo è evidenziato dalle ellissi. Il primo termine è 5, così come il rapporto PA, come 10 – 5 = 5. Poiché vogliamo trovare la somma dei primi 50 termini, il 50° termine sarà rappresentato da a50. Per scoprire il suo valore, possiamo usare la formula di termine generale della PA:
In questa formula, r è il rapporto BP. Sostituendo i valori indicati nella dichiarazione in questo formula, avremo:
Sapendo che il 50° termine è 250, possiamo usare la formula di sommaA partire daltermini per ottenere la somma dei primi 50 termini (S50) di questa PA:
Gauss e la somma dei termini di un PA
Si dice che il matematico tedesco Gauss sia stato il primo ad utilizzare un metodo alternativo per Inseriscitermini di una PADELLA, senza bisogno di aggiungere termine per termine. Successivamente, la sua idea di semplificare i passaggi si è rivelata la formula utilizzata per trovare la somma.
Si racconta che, da bambino, Gauss avesse un insegnante che puniva l'intera classe: sommando tutti i numeri da 1 a 100.
Gauss si rese conto che sommare il primo numero all'ultimo, il secondo al penultimo e così via dava lo stesso risultato:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
…
Il suo compito più grande era osservare che, mentre sommava due numeri, avrebbe trovato 50 risultati uguali a 101, cioè il somma di tutti i numeri da 1 a 100 potrebbe essere trovato facendo 50 .101 = 5050.
Il risultato ottenuto da Gauss può essere verificato tramite il formula della somma dei termini di un AP. Orologio:
