oh minimo comune multiplo, indicato con MMC, di due o più numeri interi positivi è il più piccolo numero diverso da zero che appare nell'elenco di multipli di questi due o più numeri contemporaneamente.
Esiste un metodo che facilita il calcolo del minimo comune multiplo di un numero e, per utilizzarlo, è necessario ricordare il decomposizione in fattori primi, formalmente noto come Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Tale teorema ci assicura che ogni numero composto può essere scritto come un prodotto di fattori primi.
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multiplo comune
Quando abbiamo due o più numeri interi positivi, è possibile elencare multipli di quei numeri. Quando effettuiamo questo elenco, noteremo che ci sono più di un multiplo in comune, ovvero, multipli che appaiono contemporaneamente in tutte le liste di questi numeri dati. Vedi l'esempio.
Esempio - Elencazione dei primi 10 multipli dei numeri 2, 8, 10.
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
Possiamo vedere più di un multiplo comune tra i numeri. Si noti che, tra M(2) e M (8), abbiamo in comune i numeri 8, 16, 24...; tra M (2) e M (10) abbiamo i numeri 10, 20, 30,...; tra M (8) e M (10), abbiamo i numeri 40, 80,... Questi numeri si chiamano multipli comuni.
Come determinare l'MMC?
Per determinare la MMC, dobbiamo inizialmente elencare alcuni multipli dei numeri in questione. Il primo multiplo che compare nell'elencare i due o più numeri in questione è detto minimo comune multiplo. È chiamato il minimo perché è il più piccolo di essi e corrisponderà sempre al primo numero comune ai due o più numeri.
Esempio - Per determinare il minimo comune multiplo tra i numeri 4 e 8, elenchiamo i multipli dei due numeri.
M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} e M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...}
Ora, nota che il multiplo più piccolo che appare in entrambi gli elenchi è il numero 8. Pertanto, la MMC (8.4) = 8
capito che questo metodo non è praticoquando i numeri sono troppo grandi. Immagina, ad esempio, di determinare la MMC tra i numeri 2 e 121 usando questo metodo. Dovremmo elencare i multipli di 2 finché non ci avviciniamo a 121.
Con questo in mente, possiamo usare il decomposizione in fattori primi, cioè, dobbiamo eseguire divisioni successive per numeri primi. Vedere il seguente esempio.
Per calcolare la MMC (121,2), scomporremo inizialmente il numero in fattori primi e poi moltiplicheremo tali fattori. Il risultato della moltiplicazione sarà la MMC.
Quindi, il MMC (121,2) = 2 ·11 ·11 = 242.
Esempio - Determinare la MMC (8.4) utilizzando la scomposizione in fattori primi.
Quindi, la MMC (8.4) = 2 · 2 ·2 = 8, come mostrato dal primo metodo.
Proprietà MMC
Vedere le proprietà della MMC di seguito.
Proprietà 1
Il prodotto del massimo comun divisore con il minimo comune multiplo di due numeri Il e B è uguale al modulo del prodotto di questi numeri.
MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|
Esempio - Sappiamo che MDC (8.4) = 4 e MMC (8.4) = 8. Infatti,
MDC (8.4) · MMC (8.4) = | 8 · 4 |.
Proprietà 2
I multipli comuni di due o più numeri sono multipli MMC di quei numeri.
Esempio - Abbiamo visto che M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} e M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...} e che la MMC (8.4) = 8. La proprietà ci dice che i multipli di 8 e 4 sono multipli di 8, che, guarda caso in questo caso, è il minimo comune multiplo.
Proprietà 3
La MMC tra due numeri primi l'uno dell'altro è uguale alla moltiplicazione tra di loro.
NOTA: Due numeri sono primi tra loro quando non hanno divisore comune.
Esempio - Trova il minimo comune multiplo tra 5 e 21.
Poiché i numeri non hanno un divisore comune, cioè sono that cugini tra loro, il più piccolo multiplo tra loro è il prodotto tra loro, quindi MMC (21,5) = 21 · 5 = 105. In effetti questo è vero, come si vede dalla scomposizione in fattori primi.
MMC (21,5) = 3 ·5 ·7 = 105
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MMC e frazioni
oh minimo comune multiplo serve anche per eseguire le operazioni di addizione e sottrazione di frazioni. Per Inserisci o sottrarre due o più frazioni, calcola inizialmente la MMC tra i denominatori, quindi dividi quella MMC per il denominatore e moltiplica il risultato per il numeratore. Vedi gli esempi.
Esempio – Determinare la somma della seguente frazione 4 + 5.
7 3
Inizialmente determiniamo la MMC (7,3). Per questo, possiamo usare il proprietà 3, quindi, MMC (7.3) = 21.
Così, 4 + 5 = 56 :7 = 8.
7 3 21:7 3
La stessa procedura è valida per quando abbiamo una sottrazione di frazioni, solo prestare attenzione solo al segno tra le frazioni.
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Esercizio risolto
Domanda 1 – (UPE) Rodrigo stava guardando il lampeggiatore sull'ornamento di Natale della sua casa. Consiste di lampadine in giallo, blu, verde e rosso. Rodrigo ha notato che le lampadine gialle si accendono ogni 45 secondi, le lampadine verdi ogni 60 secondi, le blu, ogni 27 secondi, e quelle rosse si accendono solo quando le lampade degli altri colori si accendono contemporaneamente tempo. Per quanti minuti si accendono le spie rosse?
Il) 6
B) 9
ç) 12
d) 15
e) 18
Soluzione
Poiché le lampade si accendono solo quando sono tutte accese Contemporaneamente, cioè dobbiamo trovare il tempo comune di attivazione delle lampade. Quindi, calcola solo l'MMC tra 60, 45 e 27.
Quindi, MMC (60, 45, 27) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 540 secondi. Poiché l'esercizio è interessato all'intervallo di tempo in minuti, basta dividere 540 per 60.
540: 60 = 9 minuti.
Alternativa B.
