Immagina di essere andato al mercato, aver comprato molta frutta e ora devi organizzarla a casa tua. I frutti acquistati erano banana, mela, arancia, limone, anguria, melone, guava e uva. Sebbene siano tutti frutti, non sono tutti uguali e devi scegliere uno schema per poterli separare in gruppi. Alcuni dei frutti hanno forma circolare e, tra questi, ci sono grandi frutti circolari (anguria e melone) e altri più piccoli (arancia, limone, mela, guaiava e uva). Inoltre, all'interno del gruppo di frutti circolari più piccoli, ce ne sono alcuni che sono agrumi (arancia e limone). Se dovessimo conservare questi frutti, separandoli per gruppi, avremmo:
Organizzazione dei frutti per tipologia
Osservando l'immagine è possibile osservare che il gruppo degli agrumi è all'interno degli altri gruppi, in quanto hanno le stesse caratteristiche degli altri frutti. Lo stesso non accade con la banana, che appartiene solo al gruppo dei frutti, in quanto non si inserisce né nei frutti di forma circolare né nei frutti circolari più piccoli e nemmeno negli agrumi.
Qualcosa di molto simile accade con i numeri. Poiché esistono molti tipi diversi, possono essere organizzati in diversi set di numeri in base alle loro caratteristiche.
Il primo e più semplice è l'insieme di Numeri naturali, il cui simbolo è
. Questo gruppo nasce dalla necessità di contare gli oggetti ed è formato dai primi numeri creati. Rappresentiamo gli elementi dell'insieme dei numeri naturali come segue:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Questo è un insieme caratterizzato dall'avere un valore iniziale (zero) e non avere un valore finale. Per questo si dice che l'insieme dei numeri naturali è infinito. Possiamo anche rappresentare i numeri naturali usando la seguente riga:
Rappresentare i numeri naturali usando una linea dei numeri
Dopo i numeri naturali, c'è l'insieme di numeri interi, che è rappresentato da 
. Usiamo la lettera z in virtù della parola tedesca zahl, che significa "numeri". L'insieme degli interi è composto da tutti gli elementi dell'insieme naturale e anche da questi stessi elementi preceduti dal segno "meno", il cosiddetto "numeri negativi”. Possiamo rappresentare l'insieme dei numeri naturali come segue:
= {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}
Nota che l'unico numero che non riceve il segno negativo è zero. Anche questo insieme è infinito, poiché non possiamo determinarne il primo o l'ultimo elemento. Usando la linea dei numeri, abbiamo la seguente rappresentazione per i numeri interi:
Rappresentare numeri interi usando la linea dei numeri
Abbiamo ancora il set di Numeri razionali, rappresentato da 
. La lettera che cosa è usato in riferimento alla parola "quoziente" (il risultato di a divisione). Questo perché l'insieme dei numeri razionali è composto da numeri che sono il risultato di divisioni. Vediamo alcuni esempi:
4: 2 = 2 
– 10: 5 = – 2
1: 2 = ½
– 3: 4 = – ¾
5: 3 = 1,666...
3: (– 6) = – 0,5
Quindi, nell'insieme dei numeri razionali, abbiamo gli stessi elementi che si trovano negli insiemi dei naturali e degli interi, oltre a numeri frazionari, decimali e decime periodiche. Possiamo quindi rappresentare l'insieme dei numeri razionali come:
= {…, – 1, – ¾, – ½, 0, ½, ¾, 1, …} o semplicemente,
= {P/che cosa | P , che cosa , q 0}
Un insieme numerico molto particolare e diverso dagli altri è l'insieme di numeri irrazionali, rappresentato da 
. Questi numeri sono infiniti decimali che non sono il risultato di divisioni, ma possono essere il risultato di radice quadrata, ad esempio, come nel caso del numero √2 = 1,414213... La parte decimale dei numeri irrazionali non ha periodicità. L'insieme dei numeri irrazionali non copre gli altri insiemi.
Infine, abbiamo l'insieme di numeri reali, rappresentato da 
. I numeri reali comprendono tutti gli altri insiemi descritti sopra.
Ricordi come abbiamo organizzato i frutti all'inizio del testo? Stabiliamo la relazione tra gli insiemi di numeri in modo molto simile:
Rappresentazione della relazione tra insiemi numerici
di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica
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