Esercizi sulle proprietà delle potenze

IL potenziamento è un'operazione matematica utilizzata per esprimere il prodotto di un numero da solo. Questa operazione ha alcune proprietà importanti, che consentono di semplificare e risolvere molti calcoli.

Il principale proprietà di potenziamento sono:

→ Potenziamento con esponente uguale a zero:

$\dpi{120} \mathbf{a^0 = 1, a\neq 0}$

→ Potenziamento con esponente pari a 1:

$\dpi{120} \mathbf{a^1 = a}$

→ Potenziamento dei numeri negativi con $\dpi{120} \mathrm{a>0}$ e $\dpi{120} \mathrm{m}$ un numero pari:

$\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = a^m}$

→ Potenziamento dei numeri negativi con $\dpi{120} \mathrm{a>0}$ e $\dpi{120} \mathrm{m}$ un numero dispari:

$\dpi{120} \mathbf{(-a)^m = -(a^m) }$

→ Potenza di una potenza:

$\dpi{120} \mathbf{(a^m)^n = a^{m\cdot n}}$

→ Potenza con esponente negativo:

$\mathbf{a^{-m} = \bigg(\frac{1}{a}\bigg)^m = \frac{1}{a^m}}$

→ Moltiplicazione di potenza:

$\dpi{120} \mathbf{a^m\cdot a^n = a^{m+n}}$

→ Divisione di potenza:

$\dpi{120} \mathbf{a^m: a^n = a^{m-n}}$

Per saperne di più, dai un'occhiata a elenco di esercizi sulle proprietà di potenza. Tutti i problemi risolti per te per chiarire i tuoi dubbi.

Indice

Esercizi sulle proprietà delle potenze
Risoluzione della domanda 1
Risoluzione della domanda 2
Risoluzione della domanda 3
Risoluzione della domanda 4
Risoluzione della domanda 5
Risoluzione della domanda 6
Risoluzione della domanda 7
Risoluzione della domanda 8

Esercizi sulle proprietà delle potenze

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Domanda 1. Calcola le seguenti potenze: $\dpi{120} (-3)^2$ , $\dpi{120} (-1)^9$ , $\dpi{120} (-5)^3$ e $\dpi{120} (-2)^6$ .

Domanda 2. Calcola le seguenti potenze: $\dpi{120} 4^2$ , $\dpi{120} -4^2$ e $\dpi{120} (-4)^2$ .

Domanda 3. Calcola le potenze dell'esponente negativo: $\dpi{120} 5^{-1}$ , $\dpi{120} 8^{-2}$ , $\dpi{120} (-3)^{-3}$ e $\dpi{120} (-1)^{-8}$ .

Domanda 4. Calcola le seguenti potenze: $\dpi{120} (4^2)^3$ , $\dpi{120} (-2^3)^{-1}$ , $\dpi{120} (3^2)^{-2}$ e $\dpi{120} (5^{-1})^{-2}$ .

Domanda 5. Fai le moltiplicazioni tra le potenze:

$\dpi{120} 3^2\cdot 3^3$

$\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3}$

$\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1$

Domanda 6. Fai le divisioni tra i poteri: $\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}$ , $\dpi{120} \frac{2^5}{2^0}$ e $\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}}$ .

Domanda 7. Calcola le seguenti potenze: $\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2$ , $\dpi{120} \left ( -\frac{2}{5} \right )^3$ , $\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4$ .

Domanda 8. Calcolare:

$\dpi{120} \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\cdot 3 ^{-2}}$

Risoluzione della domanda 1

Come in $\dpi{120} (-3)^2$ l'esponente è pari, la potenza sarà positiva:

$\dpi{120} (-3)^2 = 3^2 = 9$

Come in $\dpi{120} (-1)^9$ l'esponente è dispari, la potenza sarà negativa:

$\dpi{120} (-1)^9 = -(1^9) = -1$

Come in $\dpi{120} (-5)^3$ l'esponente è dispari, la potenza sarà negativa:

$\dpi{120} (-5)^3 = -(5^3)= - 125$

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Come in $\dpi{120} (-2)^6$ l'esponente è pari, la potenza sarà positiva:

$\dpi{120} (-2)^6= 2^6 = 64$

Risoluzione della domanda 2

In tutti e tre i casi la potenza sarà la stessa, ad eccezione del segno, che può essere positivo o negativo:

$\dpi{120} 4^2 = 16$

$\dpi{120} -4^2 =- (4^2) = -16$

$\dpi{120} (-4)^2 = 4^2 = 16$

Risoluzione della domanda 3

il potere $\dpi{120} 5^{-1}$ è l'inverso del potere $\dpi{120} 5^{1}$ :

$\dpi{120} 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$

il potere $\dpi{120} 8^{-2}$ è l'inverso del potere $\dpi{120} 8^{2}$ :

$\dpi{120} 8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$

il potere $\dpi{120} (-3)^{-3}$ è l'inverso del potere $\dpi{120} (-3)^{3}$ :

$\dpi{120} (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-(3^3)} = -\frac{1}{ 27}$

il potere $\dpi{120} (-1)^{-8}$ è l'inverso del potere $\dpi{120} (-1)^{8}$ :

$\dpi{120} (-1)^{-8} = \frac{1}{(-1)^8} = \frac{1}{1^8} = 1$

Risoluzione della domanda 4

In ogni caso, possiamo moltiplicare gli esponenti e quindi calcolare la potenza:

$\dpi{120} (4^2)^3 = 4^{2\cdot 3} = 4^6 = 4096$

$\dpi{120} (-2^3)^{-1} =(-2)^{3\cdot -1} = (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2) ^3} = -\frac{1}{8}$

$\dpi{120} (3^2)^{-2} = 3^{2\cdot -2} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{ 81}$

$\dpi{120} (5^{-1})^{-2} = 5^{-1\cdot -2} = 5^2 = 25$

Risoluzione della domanda 5

In ogni caso, aggiungiamo gli esponenti delle potenze della stessa base:

$\dpi{120} 3^2\cdot 3^3 = 3^{2 + 3} = 3^5= 243$

$\dpi{120} 2^2\cdot 2^{-2}\cdot 2^{3} = 2^{2 -2 +3} = 2^3 = 8$

$\dpi{120} 3^{-1}\cdot 5^5\cdot 3^2\cdot 5^{-3}\cdot 5^1 = 3^{-1 +2}\cdot 5^{5- 3+1}= 3^1\cdot 5^3 = 3\cdot 125 = 375$

Risoluzione della domanda 6

In ogni caso, sottraiamo gli esponenti delle potenze della stessa base:

$\dpi{120} \frac{3^6}{3^4}= 3^{6 -4} = 3^2 =9$

$\dpi{120} \frac{2^5}{2^0} = 2^{5-0} =2^5 = 32$

$\dpi{120} \frac{5^{-9}}{5^{-7}} = 5^{-9 -(-7)} = 5^{-9+7} = 5^{-2 }= \frac{1}{25}$

Risoluzione della domanda 7

In ogni caso, eleviamo entrambi i termini all'esponente:

$\dpi{120} \left ( \frac{2}{3} \right )^2 = \frac{2^2}{3^3} = \frac{4}{27}$

$\dpi{120} \left ( -\frac{2}{5} \right )^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$

$\dpi{120} \left ( \frac{5}{2} \right )^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$

Risoluzione della domanda 8

$\dpi{120} \small \frac{2^3\cdot 3^{-2}\cdot 2^0\cdot 2^{-5}\cdot 3^1}{3^3\cdot 2^5\ cdot 3^{-2}} = \frac{2^{-2}\cdot 3^{-1}}{3^{1}\cdot 2^5} = 2^{-2-5}\cdot 3^{-1-1} = 2^{-7}\cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^7\cdot 3^2} = \frac{1}{1152}$