Divisione di numeri complessi

voi numeri complessi sono quelli che hanno una parte immaginaria, e tra i quali possiamo anche esibirci operazioni.

Ci sono modi specifici per risolverli. In caso di divisione di numeri complessi usiamo il concetto di coniugato di un numero complesso.

Coniugato di un numero complesso:

Considera un numero complesso scritto in forma algebrica $\dpi{120} \boldsymbol{z=a +bi}$ , quindi, il coniugato di $\dpi{120} \boldsymbol{z}$ è rappresentato da $\dpi{120} \boldsymbol{\bar{z}}$ ed è data da:

$\dpi{120} \boldsymbol{\bar{z}=a -bi}$

Cioè, per ottenere il coniugato, dobbiamo solo cambiare il segno della parte immaginaria del numero complesso.

Detto questo, impariamo come dividere numeri complessi complex.

divisione di numeri complessi

Per dividere un numero complesso $\dpi{120} \boldsymbol{z_1}$ da un numero complesso $\dpi{120} \boldsymbol{z_2}$ , dobbiamo scrivere la divisione nella forma di frazione:

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1:z_2=\frac{z_1}{z_2}}$

Poiché moltiplicare e dividere una frazione per lo stesso numero non cambia il risultato finale, allora dividiamo e moltiplichiamo la frazione per il coniugato del denominatore.

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}}$

Sostituiamo quindi i termini e moltiplichiamo le frazioni.

Esempio: Se $\dpi{120} \boldsymbol{z_1=2 -3i}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{z_2=4 +2i}$ , qual è il valore di $\dpi{120} \boldsymbol{z_1:z_2}$ ?

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}}$

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$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{(2-3i)}{(4+2i)}\cdot \frac{(4-2i)}{(4-2i)}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{8-4i-12i+6i^2}{16-8i+8i-4i^2}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{8-16i+6i^2}{16-4i^2}}$

ricordando che $\dpi{120} \boldsymbol{i^2 = -1}$ , noi abbiamo:

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{8-16i+6\cdot (-1)}{16-4\cdot (-1)}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{8-16i-6}{16+4}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{2-16i}{20}}$

Possiamo semplificare questo risultato:

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{2-16i}{20}= \frac{1}{10}-\frac{4}{5}i}$

Formula di divisione dei numeri complessi

In generale, per e $\dpi{120} \boldsymbol{z_1=a +bi}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{z_2=c +di}$ , puoi controllare una formula per dividere i numeri complessi:

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1:z_2=\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+ d^2}i}$

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