voi sistemi lineari sono sistemi formati da equazioni lineari che sono in relazione tra loro. Pertanto, la soluzione per questo tipo di sistema è un insieme di valori sconosciuti che soddisfano tutte le equazioni nel sistema.
Tuttavia, non tutti i sistemi lineari hanno un'unica soluzione, esistono sistemi con soluzioni infinite e sistemi che non ammettono alcuna soluzione. capire meglio su risoluzione dei sistemi lineari!
Risolvere sistemi lineari
In un sistema con n incognite, , la soluzione, quando esiste, è della
, che sono valori numerici che rendono vere tutte le equazioni del sistema, essendo
.
In molte situazioni, più di un set è una soluzione di sistema e, in altri, non esiste un insieme che sia una soluzione. In questo senso, i sistemi lineari possono essere classificati in tre tipologie:
- possibile sistema determinato (SPD): ammette un'unica soluzione;
- Sistema possibile indeterminato (SPI): ammette soluzioni infinite;
- sistema impossibile (SI): non ammette alcuna soluzione.
Se il sistema di equazioni ha lo stesso numero di equazioni e incognite, possiamo assemblare la matrice dei coefficienti associata, che sarà una
matrice quadrata, e calcolare il determinante di quella matrice.Se il determinante è diverso da zero allora il sistema è SPD, ma se il determinante è zero allora il sistema può essere SPI o SI.
Esempio 1: il sistema lineare ammette un'unica soluzione.
Usando un metodo per risolvere sistemi di due equazioni, come metodo di aggiunta o sostituzione, possiamo trovare la soluzione .
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Nota che questi valori soddisfano entrambe le equazioni quando vengono sostituite in esse:
Possiamo garantire che non ci sono altre coppie ordinate. per farlo in aggiunta a questa coppia trovata, in quanto la soluzione è unica.
Esempio 2: il sistema lineare non ammette un'unica soluzione.
Se proviamo a usare uno qualsiasi dei metodi per risolvere sistemi di due equazioni, non andremo da nessuna parte, otterremo termini opposti che si annulleranno, rispetto alle due incognite. Pertanto, questo sistema è SPI o SI.
Uno dei modi per sapere se questo sistema è SPI o SI è attraverso l'analisi grafica del dritto riferimento alle equazioni del sistema. Se le due linee coincidono, allora è SPI. Ma se i rettilinei sono parallelo, significa che non c'è un punto in comune tra loro, cioè il sistema è SI.
In questo caso si può verificare che le linee e
sono coincidenti e il sistema è quindi SPI, ha infinite soluzioni.
Alcune delle coppie ordinate che sono soluzioni sono: (-5, 1) e (4, 2).
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