Esercizi sui numeri complessi: elenco di domande risolte e feedback

voi numeri complessi permettono di risolvere problemi matematici che non hanno soluzioni nell'insieme di numeri reali.

In un numero complesso scritto come $\dpi{120} z = a+ bi$ , diciamo che $\dpi{120} a$ è la parte reale, $\dpi{120} b$ è la parte immaginaria e $\dpi{120} i =\sqrt{-1}$ è l'unità immaginaria.

Per eseguire operazioni con numeri complessi, ci sono alcune espressioni che facilitano i calcoli. Tenere conto $\dpi{120} z_1 = a+ bi$ e $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

Espressione di addizione tra numeri complessi:

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d) i$

Espressione di sottrazione tra numeri complessi:

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d) i$

Espressione di moltiplicazione tra numeri complessi:

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - db)+(ad +cb) i$

Espressione di divisione tra numeri complessi:

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2 }io$

Di seguito è riportato un elenco di domande risolte con esercizi sui numeri complessi. Impara a usare ciascuno dei concetti che coinvolgono questi numeri!

Indice

Elenco di esercizi sui numeri complessi
Risoluzione della domanda 1
Risoluzione della domanda 2
Risoluzione della domanda 3
Risoluzione della domanda 4
Risoluzione della domanda 5
Risoluzione della domanda 6
Risoluzione della domanda 7
Risoluzione della domanda 8

Elenco di esercizi sui numeri complessi

Domanda 1. Considerando i numeri complessi $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ e $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ determinare il valore di $\dpi{120} A$ , Quando $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

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Domanda 2. Trova i valori di $\dpi{120} x$ e $\dpi{120} sì$ tale che $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Domanda 3. Considerando i numeri complessi $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ e $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , determinare il valore di $\dpi{120} LA\cdot SI$ , Quando $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ e $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Domanda 4. Calcola il valore di $\dpi{120} p$ e $\dpi{120} q$ per quello $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Quando $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ e $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Domanda 5. Determina il valore di $\dpi{120} a$ per quello $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ essere un puro numero immaginario.

Domanda 6. Calcola le seguenti potenze unitarie immaginarie $\dpi{120} io$ :

Il) $\dpi{120} io^{16}$
B) $\dpi{120} io^{200}$
ç) $\dpi{120} io^{829}$
d) $\dpi{120} io^{11475}$

Domanda 7. Trova la soluzione dell'equazione $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ nell'insieme dei numeri complessi.

Domanda 8. Determinare la soluzione dell'equazione $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ nell'insieme dei numeri complessi.

Risoluzione della domanda 1

Abbiamo $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ e $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ e $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ e vogliamo determinare il valore di $\dpi{120} A$ , Quando $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Per prima cosa calcoliamo $\dpi{120} 4z_3$ e $\dpi{120} 3z_1$ , separatamente:

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

Adesso calcoliamo $\dpi{120} A$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Freccia destra A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Freccia a destra A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \Freccia a destra A= -8 + 2i$

Risoluzione della domanda 2

Vogliamo trovare xey in modo che $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Per espressione della somma tra due numeri complessi, dobbiamo:

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Freccia destra (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

Quindi dobbiamo avere $\dpi{120} (2 + y) = 3$ e $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . Risolviamo queste due equazioni per trovare xey.

$\dpi{120} (2 + y) = 3\freccia destra y = 3-2\freccia destra y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\freccia destra x- 5 = -1 \freccia destra x = -1 + 5 \freccia destra x = 4$

Risoluzione della domanda 3

Abbiamo $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ e $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ e vogliamo determinare il valore di $\dpi{120} LA\cdot SI$ , Quando $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ e $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Per prima cosa calcoliamo $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Rightarrow A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

Per l'espressione della moltiplicazione tra due numeri complessi, dobbiamo:

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =[4 +25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \Freccia destra A =29$

Adesso calcoliamo $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Freccia a destra B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \freccia destra B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \freccia destra B = 10$

Perciò, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

Risoluzione della domanda 4

Vogliamo calcolare il valore di $\dpi{120} p$ e $\dpi{120} q$ per quello $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Quando $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ e $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Significa trovare $\dpi{120} p$ e $\dpi{120} q$ così che:

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$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

Per l'espressione della divisione tra due numeri complessi, dobbiamo:

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[ (-p)\cdot 1-3\cdot 2]} {1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

Unendo le due condizioni, dobbiamo avere:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

cioè:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

Risolviamo ciascuna di queste equazioni, partendo dalla seconda che dipende solo da p.

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rightarrow -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \Rightarrow p = -16$

Ora troviamo q con l'altra equazione:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \Freccia destra q = 7$

Risoluzione della domanda 5

Vogliamo trovare il valore di $\dpi{120} a$ per quello $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ essere un puro numero immaginario.

Un numero immaginario puro è uno la cui parte reale è uguale a zero.

Considerando l'espressione della divisione tra due numeri complessi, si ha che:

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a \cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

Affinché questo numero sia puro immaginario, dobbiamo avere:

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \Freccia a destra a = -2$

Risoluzione della domanda 6

Definendo potenze e numeri complessi dobbiamo:

$\dpi{120} i^0 = 1$
$\dpi{120} i^1 = i$
$\dpi{120} io ^2 = -1$
$\dpi{120} i^3 = -i$
$\dpi{120} i^4=1$
$\dpi{120} i^5 = i$
$\dpi{120} i^6 = -1$
$\dpi{120} i^7 = -i$

Osserva uno schema che si ripete ogni quattro potenze successive: 1, i, -1 e -i.

Quindi, per trovare il risultato a qualsiasi potenza di i, basta dividere l'esponente per 4. Il resto della divisione sarà 0, 1, 2 o 3 e questo valore sarà l'esponente che dovremmo usare.

Il) $\dpi{120} io^{16}$

16: 4 = 4 e il resto è 0.

Poi, $\dpi{120} i^{16} = i^0 = 1$ .