Esercizi sulla condizione di allineamento a tre punti

Punti allineati o punti collineari sono punti che appartengono alla stessa linea.

Dati tre punti $\dpi{120} \mathrm{A}(x_1,y_1)$ , $\dpi{120} \mathrm{B}(x_2,y_2)$ e $\dpi{120} \mathrm{C}(x_3,y_3)$ , la condizione di allineamento tra loro è che le coordinate siano proporzionali:

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}}$

Vedere un elenco di esercizi sulla condizione di allineamento a tre punti, il tutto a piena risoluzione.

Indice

Esercizi sulla condizione di allineamento a tre punti
Risoluzione della domanda 1
Risoluzione della domanda 2
Risoluzione della domanda 3
Risoluzione della domanda 4
Risoluzione della domanda 5

Esercizi sulla condizione di allineamento a tre punti

Domanda 1. Verificare che i punti (-4, -3), (-1, 1) e (2, 5) siano allineati.

Domanda 2. Verificare che i punti (-4, 5), (-3, 2) e (-2, -2) siano allineati.

Domanda 3. Verificare se i punti (-5, 3), (-3, 1) e (1, -4) appartengono alla stessa linea.

Domanda 4. Determinare il valore di a in modo che i punti (6, 4), (3, 2) e (a, -2) siano allineati.

Domanda 5. Determina il valore di b per i punti (1, 4), (3, 1) e (5, b) che sono vertici di qualsiasi triangolo.

Risoluzione della domanda 1

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Punti: (-4, -3), (-1, 1) e (2, 5).

Calcoliamo il primo lato dell'uguaglianza:

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-1 - (-4)}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1$

Calcoliamo il secondo lato dell'uguaglianza:

$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1 - (-3)}{5 - 1} = \frac{4}{4}=1$

Poiché i risultati sono uguali (1 = 1), i tre punti sono allineati.

Risoluzione della domanda 2

Punti: (-4, 5), (-3, 2) e (-2, -2).

Calcoliamo il primo lato dell'uguaglianza:

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-3 - (-4)}{-2-(-3)} = \frac{1}{1} = 1$

Calcoliamo il secondo lato dell'uguaglianza:

$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{2 - 5}{-2-2} = \frac{-3}{-4}= \frac{3}{4 }$

In che modo i risultati sono diversi $\bigg (1\neq \frac{3}{4}\bigg)$ , quindi i tre punti non sono allineati.

Risoluzione della domanda 3

Punti: (-5, 3), (-3, 1) e (1, -4).

Calcoliamo il primo lato dell'uguaglianza:

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{-3 - (-5)}1 - (-3)} = \frac{2}{4} = \frac{ 1}{2}$

Calcoliamo il secondo lato dell'uguaglianza:

$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1 - 3}{-4 - 1} = \frac{-2}{-5}= \frac{2}{5 }$

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In che modo i risultati sono diversi $\bigg(\frac{1}{2}\neq \frac{2}{5}\bigg)$ , quindi i tre punti non sono allineati, quindi non appartengono alla stessa linea.

Risoluzione della domanda 4

Punti: (6, 4), (3, 2) e (a, -2)

I punti collineari sono punti allineati. Quindi, dobbiamo ottenere il valore di a in modo che:

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Sostituendo i valori delle coordinate, dobbiamo:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3-6}{a-3} = \frac{2-4}{-2-2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{\frac{-3}{a-3} = \frac{-2}{-4}}$

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni (moltiplicazione incrociata):

$\dpi{120} \mathrm{-2(a-3)=12}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-2a + 6=12}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{-2a = 6}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = -\frac{6}{2}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{a = -3}$

Risoluzione della domanda 5

Punti: (1, 4), (3, 1) e (5, b).

I vertici di un triangolo sono punti non allineati. Quindi prendiamo il valore di b a cui i punti sono allineati e qualsiasi altro valore diverso risulterà nel non allineare i punti.

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2}= \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$