Funzioni trigonometriche del semiarco

A funzioni trigonometriche, seno, coseno e tangente, della metà dell'arco si ricavano dalle funzioni trigonometriche dell'arco doppio.

Dato un arco di misura $\dpi{120} \alpha$ , il doppio arco è l'arco $\dpi{120} 2\alpha$ e il mezzo arco è l'arco $\dpi{120} \alpha/2$ .

Di due formule di addizione ad arco, abbiamo le funzioni trigonometriche dell'arco doppio:

seno:

$\dpi{120} \mathrm{sen (2{\alpha})=sen({\alpha + \alpha}) = sin\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} + sin\, {\ alfa} \cdot cos\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

coseno:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos({\alpha + \alpha}) = cos\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} - sin\, {\ alfa} \cdot sin\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Tangente:

$\dpi{120} \mathrm{tan (2{\alpha})=tan({\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, {\alpha} + tan\, {\alpha}}{1 - tan\, {\alpha} \cdot tan\, {\alpha}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} {1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha }}}$

Da queste formule, mostreremo le formule per funzioni trigonometriche a mezzo arco.

Funzioni trigonometriche del semiarco

Uno di relazioni fondamentali della trigonometria è questo:

$\dpi{120} \mathbf{sen^2\boldsymbol{\alpha} + cos^2\boldsymbol{\alpha} = 1}$

Dove otteniamo:

$\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$

$\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$

sostituzione $\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$ nella formula del coseno del doppio arco dobbiamo:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = cos^2\, {\alpha} - (1 - cos^2\, {\alpha})}$

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$\dpi{120} \mathrm{= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

Perciò: $\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos^2\, {\alpha} =\frac{1+cos (2\alpha) }{2} }$

sostituzione $\dpi{120} \alpha$ per $\dpi{120} \alpha/2$ nella formula sopra ed estraendo la radice quadrata su entrambi i lati, abbiamo la formula per coseno dell'arco metà:

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$\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}$

Nota: il segno nella formula sarà positivo o negativo in base al quadrante della metà dell'arco.

Ora sostituendo $\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$ nella formula del coseno del doppio arco dobbiamo:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = (1 -sen^2\, {\alpha}) - sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \mathrm{= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

Perciò:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen^2\, {\alpha} =\frac{1-cos (2\alpha)}{2} }$

sostituzione $\dpi{120} \alpha$ per $\dpi{120} \alpha/2$ nella formula sopra ed estraendo la radice quadrata su entrambi i lati, abbiamo la formula per seno d'arco metà:

$\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }$

Nota: il segno nella formula sarà positivo o negativo in base al quadrante della metà dell'arco.

Infine, possiamo ottenere la tangente della metà dell'arco, dividendo il seno della metà dell'arco per il coseno della metà dell'arco:

$\dpi{120} \mathrm{tan(\alpha/2) = \frac{sen(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\, \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{1 + cos\, \alfa}}}$

Pertanto, la formula di mezzo arco tangente é:

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}1 + cos\, \boldsymbol{\ alfa}}}}$

Nota: il segno nella formula sarà positivo o negativo in base al quadrante della metà dell'arco.

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