Le leggi di Keplero sul moto planetario furono sviluppate tra il 1609 e il 1619 dall'astronomo e matematico tedesco Johannes Keplero. Le tre leggi di Keplero, usate per descrivere la orbite dei pianeti di Sistema solare, furono costruiti sulla base di precise misurazioni astronomiche, ottenute dall'astronomo danese. Tycho Brahe.
Introduzione alle leggi di Keplero
Contributi lasciati da Nicolas Copernico nell'area di astronomia rotto con la visione geocentrico dell'Universo, derivato dal modello planetario di Claudio Tolomeo. Il modello suggerito da Copernico, per quanto complesso, consentiva la predizione e il spiegazione delle orbite di diversi pianeti, tuttavia, presentava alcuni difetti, il più drammatico dei quali era una spiegazione soddisfacente per l'orbita retrograda di Marte durante alcuni periodi dell'anno.
Vedi anche:storia dell'astronomia
La risoluzione di problemi inspiegabili tramite il modello planetario di Copernico avvenne solo nel XVII secolo, per mano di Giovanni Keplero.
A tal fine, Keplero ha ammesso che le orbite planetarie non erano perfettamente circolari, ma piuttosto... ellittica. In possesso di dati astronomici estremamente precisi, eseguiti da Brahe, Keplero stabilì due leggi che regolano il movimento dei pianeti, 10 anni dopo, pubblicò una terza legge, che permette di stimare il periodo orbitale o addirittura il raggio dell'orbita dei pianeti che ruotano intorno di Sole.
Le leggi di Keplero
Le leggi del moto planetario di Keplero sono note come: legge delle orbite ellittiche,legge delle aree e legge dei periodi. Insieme questi spiegano come funziona il movimento di qualsiasi corpo in orbita attorno a una stella massiccia, come ad esempio pianeti o stelle. Verifichiamo quanto affermato nelle leggi di Keplero:
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1° legge di Keplero: legge delle orbite
IL La prima legge di Keplero afferma che l'orbita dei pianeti che ruotano attorno al sole non è circolare ma ellittica. Inoltre, il Sole occupa sempre uno dei fuochi di questa ellisse. Sebbene ellittiche, alcune orbite, come quella terrestre, sono molto vicino a un cerchio, poiché sono ellissi che hanno a eccentricitàtantopoco. L'eccentricità, a sua volta, è la misura che mostra quanto una figura geometrica differisce da a cerchio e può essere calcolato dal rapporto tra i semiassi dell'ellisse.
"L'orbita dei pianeti è un'ellisse in cui il Sole occupa uno dei fuochi."
2a legge di Keplero: legge delle aree
La seconda legge di Keplero afferma che la linea immaginaria che collega il Sole ai pianeti che lo orbitano percorre aree a intervalli di tempo uguali. In altre parole, questa legge afferma che il la velocità con cui vengono spazzate le aree è la stessa, cioè la velocità dell'alone delle orbite è costante.
"La linea immaginaria che collega il Sole ai pianeti che lo orbitano attraversa aree uguali a intervalli di tempo uguali".
Terza legge di Keplero: legge dei periodi o legge dell'armonia
La terza legge di Keplero afferma che il quadrato del periodo orbitale di un pianeta (T²) è direttamente proporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole (R³). Inoltre, il rapporto tra T² e R³ ha esattamente la stessa magnitudine per tutte le stelle che orbitano attorno a questa stella.
"Il rapporto tra il quadrato del periodo e il cubo del raggio medio dell'orbita di un pianeta è costante."
L'espressione utilizzata per calcolare la terza legge di Keplero è mostrata di seguito, dai un'occhiata:
T - periodo orbitale
R – raggio medio dell'orbita
Guarda la prossima figura, in essa mostriamo gli assi maggiore e minore di un'orbita planetaria attorno al Sole:
Il raggio medio dell'orbita, utilizzato nel calcolo della terza legge di Keplero, è dato dalla media tra i raggi massimo e minimo. Le posizioni mostrate in figura, che caratterizzano la distanza massima e minima della Terra dal Sole, sono chiamate rispettivamente afelio e perielio.
Quando la Terra si avvicina al perielio, il tuo velocità orbitale aumenta, dal momento che Accellerazione Gravitazionale del Sole si intensifica. In questo modo, la Terra ha il massimo energia cinetica quando vicino al perielio. Avvicinandosi all'afelio, perde energia cinetica, riducendo così la sua velocità orbitale alla sua minima misura.
Per saperne di più: Accelerazione gravitazionale - formule ed esercizi
La formula più dettagliata della terza legge di Keplero è mostrata di seguito. Si noti che il rapporto tra T² e R³ è determinato esclusivamente da due costanti, il numero pi e la costante di gravitazione universale, e anche dalla pasta del sole:
G – costante di gravitazione universale (6.67.10-11 Nm²/kg²)
M – massa del Sole (1.989,1030 kg)
Questa legge non è stata ottenuta da Keplero, ma da Isaac Newton, attraverso legge di gravitazione universale. Per farlo, Newton identificato che la forza di attrazione gravitazionale tra la Terra e il Sole è a is forza centripeta. Osservando il seguente calcolo, si mostra come sia possibile ottenere, in base alla legge di gravitazione universale, l'espressione generale della terza legge di Keplero:
Sappi anche che:Cos'è l'accelerazione centripeta?
Controlla la seguente tabella, in essa mostriamo come variano le misure di T² e R³, oltre al loro rapporto, per ciascuno dei pianeti del Sistema Solare:
Pianeta |
Raggio medio dell'orbita (R) in AU |
Periodo in anni terrestri (T) |
T²/R³ |
Mercurio |
0,387 |
0,241 |
1,002 |
Venere |
0,723 |
0,615 |
1,001 |
Terra |
1,00 |
1,00 |
1,000 |
Marte |
1,524 |
1,881 |
1,000 |
Giove |
5,203 |
11,860 |
0,999 |
Saturno |
9,539 |
29,460 |
1,000 |
Urano |
19,190 |
84,010 |
0,999 |
Nettuno |
30,060 |
164,800 |
1,000 |
Il raggio medio delle orbite nella tabella è misurato in unità astronomiche (u). Un'unità astronomica corrisponde a distanzamedia tra la Terra e il Sole, circa 1.496.1011 m. Inoltre, le piccole variazioni nei rapporti T² su R³ sono dovute a limitazioni di precisione nelle misurazioni del raggio orbitale e del periodo di traduzione di ogni pianeta.
Guardaanche: Applicazioni della forza centripeta - spine e depressioni
Esercizi sulle leggi di Keplero
Domanda 1) (Ita 2019) Una stazione spaziale, Kepler, studia un esopianeta il cui satellite naturale ha un'orbita ellittica di semigrande a0 e periodo T0, dove d = 32a0 la distanza tra la stazione e l'esopianeta. Un oggetto che si stacca da Keplero è attratto gravitazionalmente dall'esopianeta e inizia un movimento di caduta libera da fermo rispetto ad esso. Trascurando la rotazione dell'esopianeta, l'interazione gravitazionale tra il satellite e l'oggetto, nonché le dimensioni di tutti i corpi coinvolti, si calcola in funzione di T0 il tempo di caduta dell'oggetto.
Risposta: t = 32T0
Risoluzione:
Se teniamo conto che l'eccentricità della traiettoria ellittica che l'oggetto descriverà è approssimativamente uguale a 1, possiamo supporre che il raggio dell'orbita dell'oggetto sarà pari alla metà della distanza tra la stazione spaziale Kepler e il pianeta. In questo modo, calcoleremo per quanto tempo l'oggetto dovrebbe avvicinarsi al pianeta dalla sua posizione iniziale. Per questo, dobbiamo trovare il periodo dell'orbita e il tempo di caduta, a sua volta, sarà pari alla metà di quel tempo:
Dopo aver applicato la terza legge di Keplero, dividiamo il risultato per 2, poiché quello che calcoliamo era il periodo orbitale, in cui, nella metà del tempo, l'oggetto cade verso il pianeta, e nell'altra metà, va via. Quindi, il tempo di caduta, in termini di T0, è lo stesso di 32T0.
Domanda 2) (Udesc 2018) Analizzare le proposizioni riguardanti le leggi di Keplero sul moto dei pianeti.
IO. La velocità di un pianeta è massima al perielio.
II. I pianeti si muovono su orbite circolari, con il Sole al centro dell'orbita.
III. Il periodo orbitale di un pianeta aumenta con il raggio medio della sua orbita.
IV. I pianeti si muovono su orbite ellittiche, con il Sole in uno dei fuochi.
v. La velocità di un pianeta è maggiore nell'afelio.
spunta l'alternativa corretta.
a) Solo le affermazioni I, II e III sono vere.
b) Solo le affermazioni II, III e V sono vere.
c) Sono vere solo le affermazioni I, III e IV.
d) Solo le affermazioni III, IV e V sono vere.
e) Solo le affermazioni I, III e V sono vere.
Risposta: Lettera C
Risoluzione:
Vediamo le alternative:
IO - VERO. Quando il pianeta si avvicina al perielio, la sua velocità di traslazione aumenta, a causa del guadagno di energia cinetica.
II- FALSO. Le orbite planetarie sono ellittiche, con il Sole che occupa uno dei loro fuochi.
III - VERO. Il periodo orbitale è proporzionale al raggio dell'orbita.
IV - VERO. Questa affermazione è confermata dall'affermazione della prima legge di Keplero.
V- FALSO. La velocità di un pianeta è massima vicino al perielio.
Domanda 3) (Uff) Seguirono molte teorie sul Sistema Solare, finché, nel XVI secolo, il polacco Niccolò Copernico ne presentò una versione rivoluzionaria. Per Copernico, il centro del Sistema era il Sole, non la Terra. Attualmente, il modello accettato per il Sistema Solare è fondamentalmente quello di Copernico, con correzioni proposte dal tedesco Johannes Kepler e dai successivi scienziati.
Sulla gravitazione e le leggi di Keplero, considera le seguenti affermazioni, vero (Lo farò falso (F).
IO. Prendendo il Sole come riferimento, tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, con il Sole come uno dei fuochi dell'ellisse.
II. Il vettore posizione del centro di massa di un pianeta nel Sistema Solare, relativo al centro di massa del Sole, spazza aree uguali a intervalli di tempo uguali, indipendentemente dalla posizione del pianeta nel tuo orbita.
III. Il vettore posizione del centro di massa di un pianeta nel Sistema Solare, rispetto al centro di massa del Sole, spazza aree proporzionali a intervalli di tempo uguali, indipendentemente dalla posizione del pianeta nel suo orbita.
IV. Per ogni pianeta del Sistema Solare, il quoziente del cubo del raggio medio dell'orbita e del quadrato del periodo di rivoluzione attorno al Sole è costante.
spunta l'alternativa CORRETTA.
a) Tutte le affermazioni sono vere.
b) Solo le affermazioni I, II e III sono vere.
c) Solo le affermazioni I, II e IV sono vere.
d) Solo le affermazioni II, III e IV sono vere.
e) Solo le affermazioni I e II sono vere.
Modello: lettera C
Risoluzione:
IO. VERO. L'enunciato è l'enunciato stesso della prima legge di Keplero.
II. VERO. L'affermazione coincide con la definizione della seconda legge di Keplero.
III. FALSO. La determinazione della seconda legge di Keplero, che segue dal principio di conservazione del momento angolare, implica che le aree spazzate siano uguali per intervalli di tempo uguali.
IV. VERO. La dichiarazione riproduce la terza dichiarazione di legge di Keplero, nota anche come legge dei periodi.
Di Me. Rafael Helerbrock
