Considera il equazione polinomiale sotto dove tutti i coefficienti Ilnosono numeri interi:
IlnoXno + iln-1Xn-1 + iln-2Xn-2 + … + il2X2 + il1x + a0 = 0
oh Teorema delle radici razionali garantisce che se questa equazione ammette il numero razionale P/che cosa come radice (con P
, che cosa 
e mdc (p, q) = 1), poi Il0 è divisibile per P e Ilno è divisibile per che cosa.
Commenti:
1º) Il teorema delle radici razionali non garantisce che l'equazione polinomiale abbia radici, ma se esistono, il teorema ci permette di identificare tutte le radici dell'equazione;
2º) Se Ilno= 1 e gli altri coefficienti sono tutti interi, l'equazione ha solo radici intere.
3°) Se q = 1 e ci sono radici razionali, queste sono intere e divisori di Il0.
Applicazione del teorema delle radici razionali:
Usiamo il teorema per trovare tutte le radici dell'equazione polinomiale 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0.
Innanzitutto, identifichiamo le possibili radici razionali di questa equazione, cioè le radici della forma P/che cosa. Secondo il teorema,
Il0 è divisibile per P; in questo modo, come? Il0 = 12, quindi i possibili valori di P sono {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Analogamente, dobbiamo Ilno è divisibile per che cosa e Ilno = 2, poi che cosa può assumere i seguenti valori: {±1, ±2}. Pertanto, dividendo i valori di P per che cosa, otteniamo valori possibili P/che cosa radici dell'equazione: {+½, – ½, +1, – 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Per confermare che i valori che abbiamo trovato sono davvero la radice dell'equazione polinomiale, sostituiamo ogni valore al posto del X dell'equazione. Attraverso calcolo algebrico, se il polinomio risulta in zero, quindi il numero sostituito è in realtà la radice dell'equazione.
2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0
Per x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Per x = – ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
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Per x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Per x = – 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Per x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Per x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Per x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Per x = – 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Per x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Per x = – 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Per x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Per x = – 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Per x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Per x = – 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Per x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Per x = – 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Pertanto, le radici dell'equazione polinomiale 2x4 + 5x3 – 11x2 – 20x + 12 = 0 sono {– 3, – 2, ½, 2}. Attraverso teorema di decomposizione polinomiale, potremmo scrivere questa equazione come (x + 3).(x + 2).(x – ½).(x – 2)= 0.
di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica
Vorresti fare riferimento a questo testo in un lavoro scolastico o accademico? Guarda:
RIBEIRO, Amanda Goncalves. "Teorema delle radici razionali"; Scuola Brasile. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Consultato il 28 giugno 2021.
