IL legge del coseno è relazione trigonometrica usato per mettere in relazione i lati e angoli nessuno triangolo qualunque, cioè quel triangolo che non ha necessariamente un angolo retto. Notare il seguente triangolo ABC con le misure evidenziate:
IL leggeA partire dalcoseni può essere data da uno dei seguenti espressioni:
Il2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
B2 = il2 + c2 – 2·ac·cosβ
ç2 = b2 + il2 – 2·b·a·cos
Osservazione: Non è necessario memorizzare queste tre formule. sappi solo che leggeA partire dalcoseni si può sempre costruire. Si noti, nella prima espressione, che α è l'angolo opposto al lato la cui misura è data da Il. Iniziamo la formula con il quadrato sul lato opposto dell'angolo che verrà utilizzato nei calcoli. Sarà uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, meno il doppio del prodotto dei due lati che non sono opposti a questo angolo per il coseno di α.
In questo modo, le tre formule precedenti possono essere ridotte a:
Il2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
Finché sappiamo che "Il" è la misura sul lato opposto di "α", e che "b" e "c" sono le misure degli altri due lati del triangolo.
Dimostrazione
dato che triangolo Qualsiasi ABC, con le misure evidenziate nella figura seguente:
Considera i triangoli ABD e BCD formati dall'altezza BD del triangolo ABC. Usando il teorema di Pitagora in ABD avremo:
ç2 = x2 + h2
H2 = c2 - X2
Usando lo stesso teorema per triangolo BCD, avremo:
Il2 = y2 + h2
H2 = il2 - si2
Sapendo che c'è2 = c2 - X2, avremo:
ç2 - X2 = il2 - si2
ç2 - X2 + si2 = il2
Il2 = c2 - X2 + si2
Nota nella foto di triangolo dove b = x + y, dove y = b – x. Sostituendo questo valore nel risultato ottenuto in precedenza, avremo:
Il2 = c2 - X2 + si2
Il2 = c2 - X2 + (b - x)2
Il2 = c2 - X2 + b2 – 2bx + x2
Il2 = c2 + b2 – 2bx
Sempre guardando la figura, nota che:
cosα = X
ç
c·cosα = x
x = c·cosα
Sostituendo questo risultato nell'espressione precedente, avremo:
Il2 = c2 + b2 – 2bx
Il2 = c2 + b2 – 2b·c·cosα
Questa è esattamente la prima delle tre espressioni presentate sopra. Gli altri due possono essere ottenuti analogamente a questo.
Esempio - Al triangolo quindi calcolare la misura di x.
Soluzione:
Usando il leggeA partire dalcoseni, si noti che x è la misura del lato opposto all'angolo di 60°. Pertanto, il primo "numero" a comparire nella soluzione dovrebbe essere questo:
X2 = 102 + 102 – 2·10·10·cos60°
X2 = 100 + 100 – 2·100·cos60°
X2 = 200 - 200·cos60°
X2 = 200 – 200·1
2
X2 = 200 – 100
X2 = 100
x = ± 100
x = ± 10
Poiché non ci sono lunghezze negative, il risultato dovrebbe essere solo il valore positivo, cioè x = 10 cm.
di Luiz Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm