Misure di dispersione: varianza e deviazione standard

Nello studio di statistica, abbiamo alcune strategie per verificare se i valori presentati in un set di dati sono dispersi o meno e quanto distanti possono essere. Gli strumenti utilizzati per renderlo possibile sono classificati come misure di dispersione e ho chiamato varianza e deviazione standard. Vediamo cosa rappresenta ciascuno di essi:

Varianza:

• Dato un insieme di dati, la varianza è una misura della dispersione che mostra la distanza di ciascun valore in quell'insieme dal valore centrale (medio).

• Più piccola è la varianza, più i valori si avvicinano alla media; ma più è grande, più i valori sono lontani dalla media.

• Considera che X₁, X₂, …, X_noloro sono il no elementi di a campione è questo X e la media aritmetica di questi elementi. Il calcolo di varianza di campionamento Esso è dato da:

  Var. campione = (X₁ – X)² + (x₂ – X)² + (x₃ – X)² +... + (x_no – X)²
  ​n - 1

• Se invece vogliamo calcolare il varianza della popolazione, considereremo tutti gli elementi della popolazione, non solo un campione. In questo caso, il calcolo ha una piccola differenza. Orologio:

  Var. popolazione = (X₁ – X)² + (x₂ – X)² + (x₃ – X)² +... + (x_no – X)²
  no

Deviazione standard:

• La deviazione standard è in grado di identificare "l'errore" in un set di dati, se volessimo sostituire uno dei valori raccolti con la media aritmetica.

• La deviazione standard appare accanto alla media aritmetica, indicando quanto sia "affidabile" questo valore. Si presenta come segue:

  Media aritmetica (X) ± deviazione standard (sd)

• Il calcolo della deviazione standard viene effettuato dalla radice quadrata positiva della varianza. Perciò:

  dp = var

Applichiamo ora il calcolo della varianza e della deviazione standard in un esempio:

In una scuola, il consiglio ha deciso di esaminare il numero di studenti che hanno tutti i voti sopra la media in tutte le materie. Per analizzarlo meglio, la direttrice Ana ha deciso di assemblare una tabella con la quantità di voti "blu" in un campione di quattro classi in un anno. Si veda di seguito la tabella organizzata dal preside:

Prima di calcolare la varianza è necessario verificare il Media aritmetica(X) il numero di studenti superiori alla media in ogni classe:

6° anno → X = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7° anno → X = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8° anno → X = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9° anno → X = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Per calcolare la varianza del numero di studenti sopra la media in ogni classe, usiamo a campione, ecco perché usiamo la formula di varianza di campionamento:

Var. campione = (X₁ – X)² + (x₂ – X)² + (x₃ – X)² +... + (x_no – X)²
n - 1

6° anno → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4.33

7° anno → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8.00

8° anno → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6.91

9° anno → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13.66

Una volta nota la varianza di ciascuna classe, calcoliamo ora la deviazione standard:

6° anno dp = var dp = 4.33 ​dp 2,08

7° anno dp = var dp = 8.00 ​dp 2,83

8° anno dp = var dp = 6,91 ​dp 2,63

9° anno dp = var dp = √13,66 ​dp 3,70

Per concludere la sua analisi, la preside può presentare i seguenti valori che indicano il numero medio di studenti sopra la media per classe intervistata:

6° anno: 7,50 ± 2,08 studenti sopra la media per semestre;
7° anno: 8,00 ± 2,83 studenti sopra la media per due mesi;
8° anno: 8,75 ± 2,63 studenti sopra la media per due mesi;
9° anno: 8,50 ± 3,70 studenti sopra la media per due mesi;

Un'altra misura della dispersione è il coefficiente di variazione. Guarda qui come calcolarlo!

di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm