Lo studio su insiemi numerici costituisce una delle principali aree della matematica, poiché sono molto importanti per lo sviluppo teorico dell'area e hanno diverse applicazioni pratiche. Gli insiemi numerici comprendono nello studio:
- numeri naturali;
- interi;
- numeri razionali;
- numeri irrazionali;
- numeri reali; e
- numeri complessi.
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Insieme di numeri naturali
Lo sviluppo delle prime civiltà portò con sé il miglioramento dell'agricoltura e del commercio e, di conseguenza, la usare i numeri per rappresentare le quantità. Il primo set è nato naturalmente, da qui il suo nome. L'insieme denominato naturale è usato per rappresentare le quantità, è denotato dal simbolo ℕ ed è scritto in forma sequenziale. Guarda:
oh insieme di numeri naturaè é infinito e chiuso per operazioni di addizione e moltiplicazione, cioè, ogni volta che aggiungiamo o moltiplichiamo due numeri naturali, la risposta è ancora naturale. Tuttavia, per l'operazione di sottrazione e divisione, l'insieme non è chiuso. Guarda:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Nota che i numeri –1 e 0,5 non appartengono all'insieme dei naturali, e questa è la giustificazione per la creazione e lo studio di nuovi insiemi di numeri.
Inoltre, inserendo un asterisco (*) nel simbolo dell'insieme naturale, dobbiamo rimuovere il numero zero dall'elenco, vedi:
numeri interi impostati
L'intero set di numeri è venuto fuori con il necessità di eseguire l'operazione di sottrazione senza restrizioni. Come abbiamo visto, quando si sottrae un numero minore da uno maggiore, la risposta non appartiene al gruppo dei naturali.
Anche l'insieme degli interi è rappresentato da una sequenza numerica infinita ed è denotato dal simbolo ℤ.
Come nell'insieme dei numeri naturali, inserendo un asterisco nel simbolo ℤ, l'elemento zero viene rimosso dall'insieme, in questo modo:
Il simbolo (-) che accompagna un numero indica che è simmetrico, quindi il simmetrico del numero 4 è il numero -4. Si noti inoltre che l'insieme dei numeri naturali è contenuto nell'insieme dei numeri interi, cioè l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri interi.
ℕ ⸦ ℤ
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insieme di numeri razionali
oh insieme di numeri razionali é rappresentato dal simbolo e non è rappresentato da una sequenza numerica. Questo insieme è composto da tutti i numeri che possono essere rappresentati come una frazione. Rappresentiamo i suoi elementi come segue:
Sappiamo che ogni numero intero può essere rappresentato da a frazione, cioè l'insieme dei numeri interi è contenuto in quello dei numeri razionali, quindi, l'insieme degli interi è un sottoinsieme dei razionali.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Numeri che hanno una rappresentazione infinita, come decime periodiche, hanno anche rappresentazione sotto forma di frazione, quindi sono anche razionali.
Leggi anche: Operazioni con le frazioni: passo dopo passo come risolverle
Insieme di numeri irrazionali
Come abbiamo visto, un numero è razionale se può essere scritto come frazione. È stato anche detto che i numeri infiniti e periodici sono razionali, tuttavia, ci sono alcuni numeri che non si può scrivere sotto forma di frazione e che, quindi, non appartengono all'insieme dei numeri razionali.
Questi numeri non razionali sono chiamati irrazionale e le sue caratteristiche principali sono il infinito della parte decimale e non frequenza, ovvero nessun numero nella parte decimale viene ripetuto. Guarda alcuni esempi di numeri irrazionali.
- Esempio 1
Le radici quadrate dei numeri che non sono quadrati perfetti.
- Esempio 2
Costanti provenienti da ragioni speciali come il numero d'oro, il numero di Eulero o il pi greco.
Insieme di numeri reali
oh insieme di numeri reali è rappresentato dal simbolo ℝ ed è formato dal unitàdell'insieme dei numeri razionali con l'insieme dei numeri irrazionali. Ricorda che l'insieme dei razionali è l'unione di insiemi naturali e interi.
Quando disponiamo i numeri reali su una linea, abbiamo che il numero zero è l'origine della linea, a destra dello zero ci saranno i numeri positivi ea sinistra i numeri negativi.
Poiché questo asse è reale, possiamo dire che tra due numeri ci sono infiniti e anche che questo asse è infinito sia nel direzione positiva quando in direzione negativa.
Insieme di numeri complessi
oh insieme di numeri complessi è il scorso e nasce per lo stesso motivo dell'insieme degli interi, cioè è un'operazione il cui sviluppo solo con l'insieme dei reali non è possibile.
Risolvendo la seguente equazione, vedi che non ha soluzione, conoscendo solo i numeri reali.
X2 + 1 = 0
X2 = –1
Nota che dobbiamo trovare un numero che quando elevaredoh al quadrato, risulta in un numero negativo. Lo sappiamo qualsiasi numero al quadrato è sempre positivo, quindi, questo calcolo non ha una soluzione reale.
Così sono stati creati i numeri complessi, in cui abbiamo a numero immaginario denotato da io, che ha il seguente valore:
Quindi, renditi conto che il equazione che prima non aveva soluzione ora ce l'ha. Check-out:
leggi di più: Proprietà che coinvolgono numeri complessi
intervalli effettivi
In alcuni casi, non utilizzeremo tutti gli assi reali, ovvero utilizzeremo parti di esso che verranno chiamate pause. Questi intervalli sono sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali. Successivamente, stabiliremo alcune notazioni per questi sottoinsiemi.
Gamma chiusa - senza includere gli estremi
Un intervallo è chiuso quando ha i suoi due estremi, cioè il minimo e il massimo, e, in questo caso, gli estremi non appartengono alla gamma. Lo indicheremo usando una palla aperta. Guarda:
In rosso sono i numeri che appartengono a questo intervallo, cioè sono numeri maggiore di a e minore di b. Algebricamente scriviamo un tale intervallo come segue:
il < X
Dove il numero x è tutti i numeri reali che si trovano in questo intervallo. Possiamo anche rappresentarlo simbolicamente. Guarda:
]Il; B[ o (Il; B)
Gamma chiusa - compresi gli estremi
Ora usiamo le palline chiuse per rappresentarlo gli estremi appartengono alla gamma.
Quindi stiamo raccogliendo numeri reali compresi tra a e b, inclusi loro. Algebricamente esprimiamo tale intervallo con:
il Xb
Usando la notazione simbolica, abbiamo:
[Il; B]
Gamma chiusa - incluso uno degli estremi
Trattando ancora di intervalli chiusi, abbiamo ora il caso in cui solo uno degli estremi è incluso. Pertanto, una delle biglie si chiuderà, indicando che il numero appartiene all'intervallo e l'altro no, indicando che il numero non appartiene a quell'intervallo.
Algebricamente rappresentiamo questo intervallo come segue:
il X
Simbolicamente abbiamo:
[Il; B[ o [Il; B)
Gamma aperta - nessuna fine inclusa
Viene aperto un intervallo quando non ha un elemento massimo o minimo. Ora vedremo un caso di intervallo aperto che ha solo l'elemento massimo, che non è incluso nell'intervallo.
Vedi che la gamma è composta da numeri reali inferiori aB, e nota anche che il numero b non appartenente all'intervallo (palla aperta), quindi, algebricamente, possiamo rappresentare l'intervallo con:
X
Simbolicamente possiamo rappresentarlo con:
] – ∞; B[ o (– ∞; B)
Gamma aperta - compreso l'estremo
Un altro esempio di intervallo aperto è il caso in cui è incluso l'estremo. Qui abbiamo un intervallo in cui appare l'elemento minimo, vedi:
Nota che tutti i numeri reali sono maggiori o uguali al numero a, quindi possiamo scrivere questo intervallo algebricamente con:
Xper
Simbolicamente abbiamo:
[Il; +∞[ o [Il; +∞)
campo aperto
Un altro caso di campo aperto è formato da numeri maggiori e minori dei numeri fissati sulla linea reale. Guarda:
Nota che i numeri reali che appartengono a questo intervallo sono quelli minori o uguali al numero a, o quelli maggiori del numero b, quindi dobbiamo:
X per oX > b
Simbolicamente abbiamo:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
o
(– ∞; a] U(b; + ∞)
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm