Sappiamo che le orbite dei pianeti sono ellittiche, tuttavia, per il deduzione della terza legge di Keplero, consideriamo un'orbita circolare. Sebbene la seguente dimostrazione sia basata su orbite circolari, i risultati sono validi anche per orbite ellittiche.
Nella figura abbiamo un pianeta in orbita attorno al Sole. La forza centripeta (Fc) è una forza di attrazione gravitazionale esercitata dal Sole. Le forze di attrazione esercitate tra pianeti e satelliti sono trascurate, questo è dovuto al fatto che le loro masse sono molto più piccole della massa del Sole.
Come il pianeta della massa (m) orbita intorno al Sole, di moto circolare e con velocità angolare ( ), la forza risultante sul pianeta, detta forza centripeta (Fc), è data da:
Fç=mω2 r
Su cosa:
Fç:forza centripeta;
m: massa del pianeta;
ω: velocità angolare del pianeta;
r: raggio dell'orbita del pianeta.
La velocità angolare è data da:
Su cosa:
T: periodo di rivoluzione del pianeta.
Sostituendo l'equazione 2 nell'equazione 1, abbiamo:
Si noti che la forza centripeta è la forza gravitazionale di attrazione tra il Sole e il pianeta. Quindi, considerando la massa del Sole come (M) e il raggio dell'orbita del pianeta come (r), che è la distanza tra il Sole e il Pianeta, la Legge di Gravitazione Universale può essere scritta come segue:
Non fermarti ora... C'è dell'altro dopo la pubblicità ;)
Su cosa:
Uguagliando l'equazione 3 con 4, avremo:
Presto:
Guarda l'equazione 5 e nota che il termine 
è costante, poiché le incognite si riferiscono alla costante universale e alla massa del sole, quindi l'equazione può essere riscritta come segue:
T2= kr3
Su cosa:
k: costante di proporzionalità.
L'equazione 6 ci dice che il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo della distanza tra loro.
Dall'equazione di cui sopra possiamo trarre la conclusione che più il pianeta è lontano dal Sole, più lungo è il suo periodo di rivoluzione.
La Terza Legge di Keplero, che abbiamo appena dedotto, è valida anche in relazione alla Terra per il moto della Luna e dei satelliti artificiali.
Di Nathan Augusto
Laureato in Fisica
Vorresti fare riferimento a questo testo in un lavoro scolastico o accademico? Guarda:
FERREIRA, Nathan Augusto. "Deduzione della terza legge di Keplero"; Scuola Brasile. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm. Consultato il 27 giugno 2021.
