Algebra è la branca della matematica che generalizza l'aritmetica. Ciò significa che i concetti e le operazioni dell'aritmetica (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ecc.) saranno testati e la loro efficacia sarà dimostrata per tutti i numeri appartenenti a determinati insiemi numerico.
L'operazione di “addizione”, ad esempio, funziona davvero su tutti i numeri appartenenti all'insieme dei numeri naturali? Oppure c'è qualche numero naturale molto grande, vicino all'infinito, che si comporta in modo diverso dagli altri quando viene sommato? La risposta a questa domanda è data da algebra: Innanzitutto, viene definito l'insieme dei numeri naturali e l'operazione aggiunge; allora si dimostra che l'operazione di addizione funziona per qualsiasi numero naturale.
NOI studi di algebra, le lettere sono usate per rappresentare i numeri. Queste lettere possono rappresentare numeri sconosciuti o qualsiasi numero appartenente a un insieme numerico. Se x è un numero pari, ad esempio, allora x può essere 2, 4, 6, 8, 10,... In questo modo x è un qualsiasi numero appartenente all'insieme dei numeri pari ed è chiaro che tipo di numero è x: un multiplo di 2.
Proprietà delle operazioni matematiche
Sapendo che qualsiasi numero appartenente a un insieme può essere rappresentato da una lettera, considera i numeri x, yez come appartenenti all'insieme dei numeri. vero e le operazioni addizione e moltiplicazione rappresentato rispettivamente da “+” e “·”. Quindi, le seguenti proprietà sono valide per x, y e z:
1 - Associatività
(x + y) + z = x + (y + z)
(x·y)·z = x·(y·z)
2 – Commutatività
x + y = y + x
x·y = y·x
3 – Esistenza di un elemento neutro (1 per la moltiplicazione e 0 per l'addizione)
x + 0 = x
x·1 = x
4 – Esistenzadi elemento opposto (o simmetrico).
x + (–x) = 0
X· 1 = 1
X
5 – Distribuzione (detta anche proprietà distributiva della moltiplicazione sull'addizione)
x·(y + z) = x·y + x·z
Questi cinque proprietà sono validi per tutti i numeri reali x, yez, poiché queste lettere sono state utilizzate per rappresentare qualsiasi numero reale. Sono validi anche per operazioni di addizione e moltiplicazione.
espressioni algebriche
In matematica, espressione è una sequenza di operazioni matematiche eseguite con alcuni numeri. Ad esempio: 2 + 3 – 7 è un'espressione numerica. Quando questa espressione coinvolge numeri sconosciuti (incognite), si chiama espressione algebrica. Un'espressione algebrica che ha un solo termine è chiamata monomio. Qualunque espressione algebrica cioè il risultato dell'addizione o della sottrazione tra due monomi si chiama polinomio.
espressioni algebriche, monomi e polinomi sono esempi di elementi appartenenti all'algebra, in quanto costituiti da operazioni eseguite con numeri incogniti. Ricorda che un numero sconosciuto può rappresentare qualsiasi numero in un insieme numerico.
Equazioni
Equazioni sono espressioni algebriche che hanno l'uguaglianza. Così, equazione è un contenuto della Matematica che mette in relazione i numeri con le incognite attraverso un'uguaglianza.
La presenza dell'ignoto è ciò che classifica il equazione come espressione algebrica. La presenza dell'uguaglianza permette di trovare la soluzione di un'equazione, cioè il valore numerico dell'incognita.
Esempi
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x – 9 = 0
Ruoli
La definizione formale di funzione è la seguente: occupazione è una regola che mette in relazione ogni elemento di un insieme con un singolo elemento di un secondo insieme.
Questa regola è rappresentata matematicamente da un'espressione algebrica che ha un'uguaglianza, ma che mette in relazione l'ignoto con l'ignoto. Questa è la differenza tra una funzione e un'equazione: l'equazione mette in relazione un'incognita con un numero fisso; a occupazione, l'ignoto rappresenta un intero insieme numerico. Per questo motivo, all'interno delle funzioni, le incognite sono chiamate variabili, in quanto possono assumere qualsiasi valore all'interno dell'insieme che rappresentano.
Poiché si tratta di espressioni algebriche, occupazione è anche un contenuto che appartiene all'Algebra, poiché le lettere rappresentano qualsiasi numero appartenente a qualsiasi insieme di numeri.
Esempi:
1) Considera la funzione y = x2, dove x è qualsiasi numero reale.
In questo occupazione, la variabile x può assumere qualsiasi valore all'interno dell'insieme dei numeri reali. Poiché la regola che collega i numeri rappresentati da x ai numeri rappresentati da y è un'operazione matematica di base, y rappresenta anche i numeri reali. L'unico dettaglio a riguardo è che y non può rappresentare un numero reale negativo in questa funzione, poiché y è il risultato di una potenza dell'esponente di 2, che avrà sempre un risultato positivo.
2) Considera la funzione y = 2x, dove x è a numero naturale.
In questo occupazione, la variabile x può assumere qualsiasi valore all'interno dell'insieme dei numeri naturali. Questi numeri sono gli interi positivi, quindi i valori che y può assumere sono numeri naturali multipli di 2. In questo modo, y è un rappresentante dell'insieme dei numeri pari.
Dall'algebra classica all'algebra astratta
I concetti fin qui elencati compongono il algebra classica. Questa parte dell'algebra è più legata agli insiemi di numeri naturali, interi, razionali, irrazionali, reali e complessi ed è studiata sia nell'istruzione elementare che in quella superiore. L'altra parte dell'algebra, nota come astratta, studia queste stesse strutture, ma per tutti gli insiemi.
Quindi, dato un qualsiasi insieme, con qualsiasi elemento (numero o meno), è possibile definire un'operazione "addizione", un'operazione "moltiplicazione" e verificare l'esistenza o meno delle proprietà di queste operazioni, nonché la validità di "equazioni", "funzioni", "polinomi" eccetera.
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-algebra.htm