Diciamo che Derivata è il tasso di variazione di una funzione y = f(x) rispetto a x, data dalla relazione ∆x / ∆y. Considerando una funzione y = f (x), la sua derivata nel punto x = x0 corrisponde alla tangente dell'angolo formato dall'intersezione tra la retta e la curva della funzione y = f (x), cioè la pendenza della retta tangente a curva.
Secondo il rapporto x / ∆y, Dobbiamo: 
a partire dall'idea dell'esistenza del limite. Abbiamo il tasso di variazione istantaneo di una funzione y = f(x) rispetto a x è data dall'espressione dy / dx.
Dobbiamo essere consapevoli che Derivative è una proprietà locale della funzione, cioè per un dato valore di x. Ecco perché non possiamo coinvolgere l'intera funzione. Guarda il grafico qui sotto, mostra l'intersezione tra una retta e una parabola, rispettivamente funzione di 1° grado e funzione di 2° grado:
La retta consiste nella derivazione della funzione della parabola.
Determiniamo le variazioni di x quando aumenta o diminuisce i suoi valori. Supponendo che e x vari da x = 3 a x = 2, trova x e ∆y.
x = 2 – 3 = –1
Ora determiniamo la derivata della funzione. y = x² + 4x + 4.
y + ∆y = (x + ∆x) ² + 4 (x + ∆x) + 4 – (x² + 4x + 4)
= x² + 2x∆x + ∆x² + 4x + 4∆x + 4 - x² - 4x - 4
= 2x∆x + ∆x² + 4∆x
La derivata della funzione y = x² + 4x + 8 è la funzione y' = 2x + 4. Guarda il grafico:
di Mark Noah
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Occupazione - Matematica - Scuola Brasile
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/introducao-ao-estudo-das-derivadas.htm