IL progressione aritmetica (AP) è sequenza numerica che usiamo per descrivere il comportamento di certi fenomeni in matematica. In una PA, il la crescita o il decadimento è sempre costante, cioè da un termine all'altro, la differenza sarà sempre la stessa, e questa differenza è nota come ragione.
Come risultato del comportamento prevedibile di una progressione, puoi descriverlo da una formula nota come termine generale. Per questo stesso motivo è possibile calcolare anche la somma dei termini di una PA utilizzando una formula specifica.
Leggi anche: Progressione geometrica - come calcolare?
Cos'è una PA?
Comprendere che una PA è una sequenza di termini in cui il la differenza tra un termine e il suo precedente è sempre costante, per descrivere questa progressione da una formula, dobbiamo trovare il termine iniziale, o cioè il primo termine di una progressione, e la sua ragione, che è questa differenza costante tra i termini.
In generale, la PA si scrive come segue:
(Il1, a2,Il3, a4,Il5, a6,Il7, a8)
Il primo termine è a1 e, da esso, al Inserisci la ragione r, troviamo i termini successori.
Il1 + r = a2
Il2 + r = a3
Il3 + r = a4
...
Quindi, per scrivere la progressione aritmetica, dobbiamo sapere chi è il suo primo termine e perché.
Esempio:
Scriviamo i primi sei termini di un AP sapendo che il suo primo termine è 4 e il suo rapporto è uguale a 2. conoscendo il1 =4 e r = 2, concludiamo che questa progressione inizia da 4 e aumenta da 2 a 2. Pertanto, possiamo descrivere i suoi termini.
Il1 = 4
Il2 = 4+ 2 = 6
Il3 = 6 + 2 = 8
Il4 = 8 + 2 = 10
Il5= 10 + 2 = 12
Il6 = 12 + 2 =14
Questo BP è uguale a (4,6,8,10,12,14 …).
Termine generale di una PA
Descrivere l'AP da una formula ci rende facile trovare uno qualsiasi dei suoi termini. Per trovare qualsiasi termine di un AP, usiamo la seguente formula:
Ilno=a1 + r·(n-1) |
N→ è la posizione del termine;
Il1→ è il primo termine;
r → ragione.
Esempio:
Trovalo termine generale della PA (1,5,9,13,…) e il 5°, 10° e 23° mandato.
1° passo: trova il motivo.
Per trovare il rapporto è sufficiente calcolare la differenza tra due termini consecutivi: 5 – 1 = 4; allora, in questo caso, r = 4 .
2° passo: trova il termine generico.
Come facciamo a sapere che il1= 1 e r = 4, sostituiamo nella formula.
Ilno=a1 + r (n - 1)
Ilno=1 + 4 (n - 1)
Ilno=1 + 4n - 4
Ilno= 4n – 3 → termine generale di PA
3° passo: conoscendo il termine generale, calcoliamo il 5°, 10° e 23° termine.
5° termine → n = 5
Ilno=4n - 3
Il5=4·5 – 3
Il5=20 – 3
Il5=17
10° termine → n = 10
Ilno=4n - 3
Il10=4·10 – 3
Il10=40 – 3
Il10=37
23° termine → n = 23
Ilno=4n - 3
Il23=4·23 – 3
Il23=92 – 3
Il23=89
Tipi di progressioni aritmetiche
Ci sono tre possibilità per una PA. Può essere crescente, decrescente o costante.
In crescita
Come suggerisce il nome, una progressione aritmetica aumenta quando, all'aumentare dei termini, aumenta anche il loro valore., cioè il secondo termine è maggiore del primo, il terzo è maggiore del secondo e così via.
Il1 < a2 < a3 < a4 < …. no
Perché ciò accada, il rapporto deve essere positivo, cioè un PA è crescente se r > 0.
Esempi:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
discendente
Come suggerisce il nome, una progressione aritmetica è decrescente quando, all'aumentare dei termini, il loro valore diminuisce, ovvero il secondo termine è minore del primo, il terzo è minore del secondo e così via.
Il1 > il2 > il3 > il4 > …. >lano
Perché ciò accada, il rapporto deve essere negativo, cioè un PA è in aumento se r < 0.
Esempi:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Costante
Una progressione aritmetica è costante quando, all'aumentare dei termini, il valore rimane lo stesso., cioè il primo termine è uguale al secondo, che è uguale al terzo, e così via.
Il1 = il2 = il3 = il4 = …. =ano
Perché una PA sia costante, il rapporto deve essere uguale a zero, cioè r = 0.
Esempi:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Vedi anche: Prodotto dei termini di un PG - qual è la formula?
Proprietà di un PA
1a proprietà
Dato qualsiasi termine di una PA, il media aritmetica tra il suo successore e predecessore è uguale a quel termine.
Esempio:
Considera la progressione (-1, 2, 5, 8, 11) e il termine 8. La media tra 11 e 5 è uguale a 8, cioè la somma del successore con il predecessore di un numero nella PA è sempre uguale a questo numero.
2a proprietà
La somma dei termini equidistanti è sempre uguale.
Esempio:
Somma dei termini di un PA
Supponiamo di voler aggiungere i sei termini BP mostrati sopra: (16,13,10,7,4,1). Possiamo semplicemente aggiungere i loro termini – nel qual caso ci sono pochi termini, è possibile – ma se lo è una stringa più lunga, dovresti usare la proprietà. Sappiamo che la somma dei termini equidistanti è sempre uguale, come abbiamo visto nella proprietà, quindi se eseguiamo questo aggiungiamo una volta e moltiplichiamo per la metà del numero di termini, abbiamo la somma dei primi sei termini del PADELLA.
Nota che, nell'esempio, calcoleremmo la somma del primo e dell'ultimo, che è uguale a 17, moltiplicata per la metà della quantità di termini, cioè 17 per 3, che è uguale a 51.
La formula di somma dei termini di un PA fu sviluppato dal matematico Gauss, che realizzò questa simmetria nelle progressioni aritmetiche. La formula è scritta come segue:
Sno → somma di n elementi
Il1 → primo termine
Ilno → ultimo termine
n → numero di termini
Esempio:
Calcola la somma dei numeri dispari da 1 a 2000.
Risoluzione:
Sappiamo che questa sequenza è una PA (1,3,5, …. 1997, 1999). L'esecuzione della somma richiederebbe molto lavoro, quindi la formula è abbastanza comoda. Da 1 a 2000, metà dei numeri sono dispari, quindi ci sono 1000 numeri dispari.
Dati:
n→ 1000
Il1 → 1
Ilno → 1999
Accedi anche a: Somma di un PG finito: come si fa?
Interpolazione delle medie aritmetiche
Conoscendo due termini non consecutivi di una progressione aritmetica, è possibile trovare tutti i termini che cadono tra questi due numeri, quelli che conosciamo come interpolazione delle medie aritmetiche.
Esempio:
Interpoliamo 5 medie aritmetiche tra 13 e 55. Ciò significa che ci sono 5 numeri tra 13 e 55 e formano una progressione.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Per trovare questi numeri, è necessario trovare il motivo. Conosciamo il primo termine (il1 = 13) e anche il 7° termine (il7= 55), ma sappiamo che:
Ilno = il1 + r ·(n – 1 )
Quando n = 7 → ano= 55. Conosciamo anche il valore di a1=13. Quindi, sostituendolo nella formula, dobbiamo:
55 = 13 + r ·( 7 – 1 )
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42:6
r = 7.
Conoscendo il motivo, possiamo trovare termini compresi tra 13 e 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
esercizi risolti
Domanda 1 - (Enem 2012) - Il gioco delle carte è un'attività che stimola il ragionamento. Un gioco tradizionale è il solitario, che utilizza 52 carte. Inizialmente, con le carte si formano sette colonne. La prima colonna ha una carta, la seconda due carte, la terza tre carte, la quarta quattro carte e così via. successivamente alla settima colonna, che ha sette carte, e ciò che compone il mazzo, che sono le carte inutilizzate nel colonne.
Il numero di carte che compongono il mazzo è:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Risoluzione
Alternativa B.
Per prima cosa calcoliamo il numero totale di carte che sono state utilizzate. Stiamo lavorando con un AP il cui primo termine è 1 e anche il rapporto è 1. Quindi, calcolando la somma delle 7 righe, l'ultimo termine è 7 e anche il valore di n è 7.
Sapendo che il numero totale di carte utilizzate era 28 e che le carte sono 52, il mazzo è formato da:
52 - 28 = 24 carte
Domanda 2 - (Enem 2018) Il municipio di un piccolo paese dell'interno decide di mettere dei pali per l'illuminazione intorno al lungo un rettilineo che inizia in una piazza centrale e termina in una cascina della zona. rurale. Poiché la piazza è già illuminata, il primo palo sarà posto a 80 metri dalla piazza, il secondo a 100 metri, il terzo a 120 metri e così via. successivamente, mantenendo sempre una distanza di 20 metri tra i pali, fino a che l'ultimo palo non venga posto ad una distanza di 1.380 metri dal piazza.
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E) BRL 584 000,00.
Risoluzione
Alternativa C.
Sappiamo che i pali verranno posizionati ogni 20 metri, cioè r = 20, e che il primo termine di questa PA è 80. Inoltre, sappiamo che l'ultimo termine è 1380, ma non sappiamo quanti termini ci siano tra 80 e 1380. Per calcolare questo numero di termini, utilizziamo la formula del termine generale.
Dati: ano = 1380; Il1=80; e r = 20.
Ilno=a1 + r·(n-1)
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Di Raul Rodrigues de Oliveira
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
