IL progressione aritmetica (AP) è sequenza numerica che usiamo per descrivere il comportamento di certi fenomeni in matematica. In una PA, il la crescita o il decadimento è sempre costante, cioè da un termine all'altro, la differenza sarà sempre la stessa, e questa differenza è nota come ragione.
Come risultato del comportamento prevedibile di una progressione, puoi descriverlo da una formula nota come termine generale. Per questo stesso motivo è possibile calcolare anche la somma dei termini di una PA utilizzando una formula specifica.
Leggi anche: Progressione geometrica - come calcolare?
Cos'è una PA?
Comprendere che una PA è una sequenza di termini in cui il la differenza tra un termine e il suo precedente è sempre costante, per descrivere questa progressione da una formula, dobbiamo trovare il termine iniziale, o cioè il primo termine di una progressione, e la sua ragione, che è questa differenza costante tra i termini.
In generale, la PA si scrive come segue:
(Il1, a2,Il3, a4,Il5, a6,Il7, a8)
Il primo termine è a1 e, da esso, al Inserisci la ragione r, troviamo i termini successori.
Il1 + r = a2
Il2 + r = a3
Il3 + r = a4
...
Quindi, per scrivere la progressione aritmetica, dobbiamo sapere chi è il suo primo termine e perché.
Esempio:
Scriviamo i primi sei termini di un AP sapendo che il suo primo termine è 4 e il suo rapporto è 2. conoscendo il1 =4 e r = 2, concludiamo che questa progressione inizia da 4 e aumenta da 2 a 2. Pertanto, possiamo descrivere i suoi termini.
Il1 = 4
Il2 = 4+ 2 = 6
Il3 = 6 + 2 = 8
Il4 = 8 + 2 = 10
Il5= 10 + 2 = 12
Il6 = 12 + 2 =14
Questo BP è uguale a (4,6,8,10,12,14 …).
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Termine generale di una PA
Descrivere l'AP da una formula ci rende facile trovare uno qualsiasi dei suoi termini. Per trovare qualsiasi termine di un AP, usiamo la seguente formula:
Ilno=a1 + r·(n-1) |
N→ è la posizione del termine;
Il1→ è il primo termine;
r → ragione.
Esempio:
Trovalo termine generale della PA (1,5,9,13,…) e il 5°, 10° e 23° mandato.
1° passo: trova il motivo.
Per trovare il rapporto è sufficiente calcolare la differenza tra due termini consecutivi: 5 – 1 = 4; allora, in questo caso, r = 4 .
2° passo: trova il termine generico.
Come facciamo a sapere che il1= 1 e r = 4, sostituiamo nella formula.
Ilno=a1 + r (n - 1)
Ilno=1 + 4 (n - 1)
Ilno=1 + 4n - 4
Ilno= 4n – 3 → termine generale di PA
3° passo: conoscendo il termine generale, calcoliamo il 5°, 10° e 23° termine.
5° termine → n = 5
Ilno=4n - 3
Il5=4·5 – 3
Il5=20 – 3
Il5=17
10° termine → n = 10
Ilno=4n - 3
Il10=4·10 – 3
Il10=40 – 3
Il10=37
23° termine → n = 23
Ilno=4n - 3
Il23=4·23 – 3
Il23=92 – 3
Il23=89
Tipi di progressioni aritmetiche
Ci sono tre possibilità per una PA. Può essere crescente, decrescente o costante.
In crescita
Come suggerisce il nome, una progressione aritmetica aumenta quando, all'aumentare dei termini, aumenta anche il loro valore., cioè il secondo termine è maggiore del primo, il terzo è maggiore del secondo e così via.
Il1 < a2 < a3 < a4 < …. no
Perché ciò accada, il rapporto deve essere positivo, cioè un PA è crescente se r > 0.
Esempi:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
discendente
Come suggerisce il nome, una progressione aritmetica è decrescente quando, all'aumentare dei termini, il loro valore diminuisce, ovvero il secondo termine è minore del primo, il terzo è minore del secondo e così via.
Il1 > il2 > il3 > il4 > …. >lano
Perché ciò accada, il rapporto deve essere negativo, cioè un PA è in aumento se r < 0.
Esempi:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Costante
Una progressione aritmetica è costante quando, all'aumentare dei termini, il valore rimane lo stesso., cioè il primo termine è uguale al secondo, che è uguale al terzo, e così via.
Il1 = il2 = il3 = il4 = …. =ano
Perché una PA sia costante, il rapporto deve essere uguale a zero, cioè r = 0.
Esempi:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Vedi anche: Prodotto dei termini di un PG - qual è la formula?
Proprietà di un PA
1a proprietà
Dato qualsiasi termine di una PA, il media aritmetica tra il suo successore e predecessore è uguale a quel termine.
Esempio:
Considera la progressione (-1, 2, 5, 8, 11) e il termine 8. La media tra 11 e 5 è uguale a 8, cioè la somma del successore con il predecessore di un numero nella PA è sempre uguale a questo numero.
2a proprietà
La somma dei termini equidistanti è sempre uguale.
Esempio:
Somma dei termini di un PA
Supponiamo di voler aggiungere i sei termini BP mostrati sopra: (16,13,10,7,4,1). Possiamo semplicemente aggiungere i loro termini – nel qual caso ci sono pochi termini, è possibile – ma se lo è una stringa più lunga, dovresti usare la proprietà. Sappiamo che la somma dei termini equidistanti è sempre uguale, come abbiamo visto nella proprietà, quindi se eseguiamo questo aggiungiamo una volta e moltiplichiamo per la metà del numero di termini, abbiamo la somma dei primi sei termini del PADELLA.
Nota che, nell'esempio, calcoleremmo la somma del primo e dell'ultimo, che è uguale a 17, moltiplicata per la metà della quantità di termini, cioè 17 per 3, che è uguale a 51.
La formula di somma dei termini di un PA fu sviluppato dal matematico Gauss, che realizzò questa simmetria nelle progressioni aritmetiche. La formula è scritta come segue:
Sno → somma di n elementi
Il1 → primo termine
Ilno → ultimo termine
n → numero di termini
Esempio:
Calcola la somma dei numeri dispari da 1 a 2000.
Risoluzione:
Sappiamo che questa sequenza è una PA (1,3,5, …. 1997, 1999). L'esecuzione della somma richiederebbe molto lavoro, quindi la formula è abbastanza comoda. Da 1 a 2000, metà dei numeri sono dispari, quindi ci sono 1000 numeri dispari.
Dati:
n→ 1000
Il1 → 1
Ilno → 1999
Accedi anche a: Somma di un PG finito: come si fa?
Interpolazione delle medie aritmetiche
Conoscendo due termini non consecutivi di una progressione aritmetica, è possibile trovare tutti i termini che cadono tra questi due numeri, quelli che conosciamo come interpolazione delle medie aritmetiche.
Esempio:
Interpoliamo 5 medie aritmetiche tra 13 e 55. Ciò significa che ci sono 5 numeri tra 13 e 55 e formano una progressione.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Per trovare questi numeri, è necessario trovare il motivo. Conosciamo il primo termine (il1 = 13) e anche il 7° termine (il7= 55), ma sappiamo che:
Ilno = il1 + r ·(n – 1 )
Quando n = 7 → ano= 55. Conosciamo anche il valore di a1=13. Quindi, sostituendolo nella formula, dobbiamo:
55 = 13 + r ·( 7 – 1 )
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42:6
r = 7.
Conoscendo il motivo, possiamo trovare termini compresi tra 13 e 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
esercizi risolti
Domanda 1 - (Enem 2012) - Il gioco delle carte è un'attività che stimola il ragionamento. Un gioco tradizionale è il solitario, che utilizza 52 carte. Inizialmente, con le carte si formano sette colonne. La prima colonna ha una carta, la seconda ha due carte, la terza ha tre carte, la quarta ha quattro carte, e così via successivamente alla settima colonna, che ha sette carte, e ciò che compone il mazzo, che sono le carte inutilizzate nel colonne.
Il numero di carte che compongono il mazzo è:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Risoluzione
Alternativa B.
Per prima cosa calcoliamo il numero totale di carte che sono state utilizzate. Stiamo lavorando con un AP il cui primo termine è 1 e anche il rapporto è 1. Quindi, calcolando la somma delle 7 righe, l'ultimo termine è 7 e anche il valore di n è 7.
Sapendo che il numero totale di carte utilizzate era 28 e che le carte sono 52, il mazzo è formato da:
52 - 28 = 24 carte
Domanda 2 - (Enem 2018) Il municipio di un piccolo paese dell'interno decide di mettere dei pali per l'illuminazione intorno al lungo un rettilineo che parte da una piazza centrale e termina in una cascina della zona. rurale. Poiché la piazza è già illuminata, il primo palo sarà posto a 80 metri dalla piazza, il secondo a 100 metri, il terzo a 120 metri e così via. successivamente, mantenendo sempre una distanza di 20 metri tra i pali, fino a che l'ultimo palo non venga posto ad una distanza di 1.380 metri dal piazza.
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D) BRL 552.000,00.
E) BRL 584 000,00.
Risoluzione
Alternativa C.
Sappiamo che i pali verranno posizionati ogni 20 metri, cioè r = 20, e che il primo termine di questa PA è 80. Inoltre, sappiamo che l'ultimo termine è 1380, ma non sappiamo quanti termini ci siano tra 80 e 1380. Per calcolare questo numero di termini, utilizziamo la formula del termine generale.
Dati: ano = 1380; Il1=80; e r = 20.
Ilno=a1 + r·(n-1)
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Di Raul Rodrigues de Oliveira
