Una matrice è triangolare quando gli elementi sopra la diagonale principale o gli elementi sotto la diagonale principale sono tutti nulli. Ci sono due possibili classificazioni per questo tipo di matrice: la prima è quando gli elementi sopra la diagonale principale sono nulli, che imposta una matrice triangolare inferiore; il secondo è quando gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli, creando una matrice triangolare superiore.
Per calcolare il determinante di una matrice triangolare secondo la regola di Sarrus, basta eseguire la moltiplicazione diagonale principale, poiché le altre moltiplicazioni saranno tutte uguali a zero.
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Tipi di matrici triangolari
Per capire cos'è una matrice triangolare è importante ricordare qual è la diagonale principale di una matrice quadrata, ovvero la matrice che ha lo stesso numero di righe e colonne. La diagonale principale della matrice sono i termini a.
ij, dove i = j, ovvero sono i termini in cui il numero di riga è uguale al numero di colonna.Esempio:
Comprendendo cos'è una matrice quadrata e qual è la sua diagonale principale, sappiamo cos'è una matrice triangolare e le sue classificazioni. Ci sono due possibili classificazioni per la matrice triangolare: Ilmatrice triangolare inferiore e matrice triangolare superiore.
- Matrice triangolare inferiore: si verifica quando tutti i termini sopra la diagonale principale sono uguali a zero e i termini sotto la diagonale principale sono numeri reali.
Esempio numerico:
- Matrice triangolare superiore: si verifica quando tutti i termini sotto la diagonale principale sono uguali a zero e i termini sopra la diagonale principale sono numeri reali.
Esempio numerico:
matrice diagonale
La matrice diagonale è a caso particolare di matrice triangolare. In esso, gli unici termini diversi da zero sono quelli contenuti nella diagonale principale. I termini sopra o sotto la diagonale principale sono tutti uguali a zero.
Esempi numerici di matrice diagonale:
Determinante di una matrice triangolare
Data una matrice triangolare, quando si calcola il determinante di questa matrice per La regola di Sarrus, puoi vedere che tutte le moltiplicazioni sono uguali a zero, tranne la moltiplicazione del termine della diagonale principale.
det (A) = a11 · a22· a33 + il12 · a23 · 0 + il13 · 0 · 0 - ( Il13 ·Il23 ·0 + il11 · a23 · 0 + il12 · 0· a33)
Nota che in tutti i termini tranne il primo, zero è uno dei fattori, e tutti moltiplicazione per zero è uguale a zero, quindi:
det (A) = a11 · a22· a33
Nota che questo è il prodotto tra i termini della diagonale principale.
Indipendentemente dal numero di righe e colonne che ha una matrice triangolare, la sua determinante sarà sempre uguale al prodotto dei termini della diagonale principale.
Vedi anche: Determinante — caratteristica applicata a matrici quadrate
Proprietà della matrice triangolare
La matrice triangolare ha alcune proprietà specifiche.
- 1a proprietà: il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto dei termini della diagonale principale.
- 2° immobile: il prodotto tra due matrici triangolari è una matrice triangolare.
- 3a proprietà: se uno dei termini della diagonale principale della matrice triangolare è uguale a zero, allora il suo determinante sarà uguale a zero e, di conseguenza, non sarà invertibile.
- 4a proprietà: la matrice inversa di una matrice triangolare è anche una matrice triangolare.
- 5a proprietà: la somma di due matrici triangolari superiori è una matrice triangolare superiore; allo stesso modo, la somma di due matrici triangolari inferiori è una matrice triangolare inferiore.
esercizi risolti
1) Data la matrice A, il valore del determinante di A è:
a) 2
b) 0
c) 9
d) 45
e) 25
Risoluzione
Alternativa d.
Questa matrice è triangolare inferiore, quindi il suo determinante è la moltiplicazione dei termini sulla diagonale principale.
det (A) = 1·3·3·1·5 = 45
2) Giudica le seguenti affermazioni.
I → Ogni matrice quadrata è triangolare.
II → La somma di una matrice triangolare superiore con una matrice triangolare inferiore è sempre una matrice triangolare.
III → Ogni matrice identità diagonale è una matrice triangolare.
L'ordine corretto è:
a) V, V, V.
b) F, F, F.
c) F, V, F.
d) F, F, V.
e) V, V, F.
Risoluzione
Alternativa d.
I → Falso, perché ogni matrice triangolare è quadrata, ma non tutte le matrici quadrate sono triangolari.
II → Falso, poiché la somma tra una matrice triangolare superiore e inferiore non sempre risulta in una matrice triangolare.
III → Vero, in quanto i termini diversi dalla diagonale sono uguali a zero.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm