Puoi dire cosa hanno in comune le sequenze nell'immagine sopra? In tutti loro i numeri crescono secondo una qualche “forma logica”. Questi sequenze numeriche può essere classificato come progressioni geometriche. Uno progressione geometrica (PG) è una sequenza numerica in cui la divisione di un elemento per l'elemento immediatamente precedente risulta sempre nello stesso valore, detto a Motivo. Un altro aspetto interessante che caratterizza una progressione geometrica è che, quando ne scegliamo tre elementi consecutivi, il quadrato dell'elemento centrale sarà sempre uguale al prodotto degli elementi della estremi. Ad esempio, diamo un'occhiata alla sequenza A = (1, 2, 4, 8, 16, 32, …). Possiamo identificare il motivo scegliendo un qualsiasi elemento e dividendolo per il termine immediatamente precedente. Eseguiamo questa procedura per tutti gli elementi che compaiono nella sequenza:
32 = 2, 16 = 2; 8 = 2; 4 = 2; 2 = 2
16 8 4 2 1
Pertanto, il rapporto della sequenza A è 2. Vediamo se vale la seconda regola. Scegliamo tre elementi consecutivi, ad esempio,
4, 8, 16. Secondo la regola, il quadrato di 8 è uguale al prodotto di due numeri finali, in questo caso 4 e 16. Usando le proprietà di potenziamento, dobbiamo 8² = 64. Se moltiplichiamo gli estremi, otteniamo che 4 * 16 = 64. Applica queste regole ad altre progressioni e scopri se la sequenza è una progressione geometrica.Data qualsiasi sequenza (Il1, a2, a3, a4, …, Iln-1, ano, …), possiamo dire che, be no qualsiasi numero intero, il ragione r è dato da:
r = Ilno
Iln - 1
Analizziamo le altre sequenze dell'immagine di testo iniziale, verificando se sono progressioni geometriche.
B = {5, 25, 125, 625, 3125, …}
r = 25 = 125 = 625 = 3125 = 5
5 25 125 625
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C = {1, – 3, 9, – 27, 81, – 243, 729}
r = – 3 = 9 = – 27 = 81 = 243 = – 3
1 – 3 9 – 27 81
D=(10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125 …}
r = 5 = 2,5 = 1,25 = 0,625 = 0,3125 = 1
10 5 2,5 1,25 0,625 2
Una progressione geometrica può essere classificata in base alla sua ragione. Vediamo le possibili classificazioni:
Se il PG presenta un motivo per valore negativo, diciamo che è un PG alternato o oscillante, come nell'esempio . Si noti che una stringa di questo tipo ha valori alternati positivi e negativi (1, -3, 9, -27, 81, -243, 729...);
Quando il primo elemento di PG è positivo e la ragione r è piace r > 1 o il primo elemento di PG è negativo e 0 < r < 1, diciamo che PG è in crescita. le sequenze IL e B sono esempi di una progressione geometrica crescente;
Se si verifica l'opposto della costante PG, cioè quando il primo elemento della PG è negativo e la ragione r è piace r > 1 o il primo elemento di PG è positivo e 0 < r < 1, è un PG decrescente. La sequenza D è un esempio di PG decrescente;
Quando un PG ha un rapporto uguale a 1, è classificato come PG costante. La sequenza (2, 2, 2, 2, 2, …) è un tipo di PG costante perché il suo rapporto è 1;
Quando PG ha almeno un termine nullo, diciamo che è una progressione geometrica singolare. Non siamo in grado di determinare il motivo di un singolo PG. Un esempio è la sequenza (2, 0, 0, 0, …).
di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica
