Semua bilangan yang ada diciptakan sesuai dengan kebutuhan manusia pada saat penciptaan, seperti halnya bilangan asli, yang diciptakan untuk menghitung dan mengontrol "saham", dan bilangan irasional, yang ditetapkan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan akar. Justru masalah yang melibatkan akar yang memulai pengetahuan tentang bilangan kompleks.
Persamaan kuadrat x2 + 4x + 5 = 0 tidak memiliki akar real. Ini berarti bahwa, dalam himpunan bilangan real, tidak mungkin menemukan nilai untuk x yang sama dengan suku pertama persamaan ini dengan suku kedua. Kami mengamati fenomena ini dari awal rumus Bhaskara:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Setelah nilai negatif ditemukan untuk, menjadi tidak mungkin untuk melanjutkan dengan rumus Bhaskara, karena mengharuskan (akar delta) dihitung. Sekarang, kita tahu bahwa – 4 tidak dapat dihitung karena tidak ada bilangan real yang, dikalikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan – 4.
Bilangan kompleks diciptakan untuk memenuhi kebutuhan ini. Dari pembuatannya, – 4 dapat dikembangkan sebagai berikut:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √(– 1) dipahami sebagai tipe bilangan baru. Himpunan semua bilangan ini dikenal sebagai himpunan bilangan kompleks, dan setiap perwakilan dari himpunan baru ini didefinisikan sebagai berikut: Misalkan A adalah bilangan kompleks, maka,
A = Itu + Baku dimana Itudan B adalah bilangan real dan i = (– 1)
Dalam definisi ini, Itu Hal ini dikenal sebagai bagian nyata dari A dan B Hal ini dikenal sebagai bagian imajiner dari A
Sifat-sifat bilangan kompleks
Bilangan real mewakili, secara keseluruhan dan geometris, sebuah garis. Bilangan kompleks, pada gilirannya, mewakili seluruh bidang. Bidang Cartesian yang digunakan untuk menyatakan bilangan kompleks dikenal sebagai bidang Argand-Gauss.
Setiap bilangan kompleks dapat direpresentasikan pada bidang Argand-Gauss sebagai titik koordinat (a, b). Jarak dari titik yang menyatakan bilangan kompleks ke titik (0,0) disebut modulus bilangan kompleks., yang didefinisikan:
Misalkan A = a + bi bilangan kompleks, modulusnya adalah |A| =2 + b2
Bilangan kompleks juga memiliki elemen invers, yang disebut konjugat. Ini didefinisikan sebagai:
Misalkan A = a + bi bilangan kompleks,
= a – bi adalah konjugat dari bilangan ini.
Properti 1: Produk bilangan kompleks dan konjugatnya sama dengan jumlah kuadrat bagian nyata dan bagian imajiner dari bilangan kompleks. Secara matematis:
A = a2 + b2
Contoh: Berapa hasil kali A = 2 + 5i dengan konjugasinya?
Lakukan saja perhitungan: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Jika kita memilih untuk menulis konjugat dari A dan, setelah itu, melakukan perkalian AĀ, kita akan mendapatkan:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 – 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Artinya, dengan menggunakan properti yang diusulkan, dimungkinkan untuk menghindari perhitungan yang panjang serta kesalahan selama perhitungan ini.
Properti 2: Jika bilangan kompleks A sama dengan konjugasinya, maka A adalah bilangan real.
Misalkan A = a + bi. Jika A =, maka:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Oleh karena itu, b = 0
Oleh karena itu, wajib bahwa setiap bilangan kompleks yang sama dengan konjugatnya juga merupakan bilangan real.
Properti 3: Konjugat jumlah dua bilangan kompleks sama dengan jumlah konjugat dari bilangan-bilangan ini., itu adalah:
_____ _ _
A + B = A + B
Contoh: Apa konjugat dari jumlah 7 + 9i dan 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i
Anda dapat menjumlahkan terlebih dahulu lalu menghitung konjugasi hasilnya, atau melakukan konjugasi terlebih dahulu lalu menjumlahkan hasilnya nanti.
Properti 4: Konjugat produk antara dua bilangan kompleks sama dengan produk konjugatnya, yaitu:
__ _ _
AB = A·B
Contoh: Berapa hasil kali konjugat dari A = 7i + 10 dan B = 4 + 3i?
(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i
Bergantung pada kebutuhan latihan, dimungkinkan untuk mengalikan terlebih dahulu dan menghitung konjugat setelahnya, atau menampilkan konjugat sebelum melakukan perkalian.
Properti 5: Produk bilangan kompleks A dan konjugatnya sama dengan kuadrat modulus A, yaitu:
AĀ = |A|2
Contoh: A = 2 + 6i, maka AĀ = |A|2 = (a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Perhatikan bahwa tidak perlu mencari konjugat dan melakukan perkalian melalui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (dikenal sebagai pancuran kecil).
Properti 6: Modulus bilangan kompleks sama dengan modulus konjugatnya. Dengan kata lain:
|A| = |Ā|
Contoh: Tentukan modulus konjugat bilangan kompleks A = 3 + 4i.
Perhatikan bahwa tidak perlu menemukan konjugat, karena modulnya sama.
|A| = (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Jika |Ā| dihitung, satu-satunya perubahan adalah a B kuadrat negatif, yang memiliki hasil positif. Dengan demikian, hasilnya akan tetap menjadi akar dari 25.
Properti 7: Jika A dan B bilangan kompleks, maka produk modulus A dan B sama dengan modulus produk A dan B., yaitu:
|AB| = |A||B|
Contoh: Misalkan A = 6 + 8i dan B = 4 + 3i, berapakah |AB|?
Perhatikan bahwa tidak perlu mengalikan bilangan kompleks sebelum menghitung modulus. Dimungkinkan untuk menghitung modulus dari setiap bilangan kompleks secara terpisah dan kemudian hanya mengalikan hasilnya.
|A| = (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
|B| = (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
|AB| = |A||B| = 10·5 = 50
Oleh Luiz Paulo Moreira
Lulus matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
