Polihedral (dari bahasa latin poli — banyak — dan hedron — wajah) adalah angkatiga dimensi dibentuk oleh penyatuan poligon beraturan, di mana sudut polihedral semuanya kongruen. Gabungan poligon ini membentuk elemen yang membentuk polihedron, yaitu: sudut, tepi dan wajah. Namun, tidak setiap bangun datar tiga dimensi adalah polihedron, contohnya adalah gambar yang memiliki wajah melengkung yang disebut tubuh bulat.
Ada rumus matematika yang menghubungkan unsur-unsur polihedron yang disebut hubungan Euler. Selanjutnya, polyhedra dibagi menjadi dua kelompok: yang disebut polyhedra cembung dan tidak cembung. Beberapa polyhedra patut mendapat perhatian khusus, mereka disebut Polihedral Plato: segi empat, pigur berenam segi, segi delapan, pigura berduabelas segi dan ikosahedron.
Baca juga: Perbedaan antara angka datar dan spasial
polihedral cembung
Sebuah polihedron akan cembung ketika dibentuk oleh poligon cembung, sehingga kondisi berikut diterima:
- dua poligon Tidak pernah mereka adalah coplanar, yaitu, mereka tidak termasuk dalam bidang yang sama.
- Setiap sisi dari salah satu poligon ini hanya dimiliki oleh dua poligon.
- Bidang yang berisi salah satu dari poligon ini meninggalkan poligon lainnya di setengah ruang yang sama.
Baca juga:Jumlah sudut dalam dan luar poligon cembung
Elemen polihedron cembung
Pertimbangkan polihedron cembung ini:
Kamu segi empat pada gambar disebut wajah dari polihedron.
Kamu segi lima adalah wajah dan dasar polihedron, yang diberi nama polihedron dasar segi lima.
Segmen yang membentuk masing-masing wajah disebut tepi dari polihedron.
Titik pertemuan ujung-ujungnya disebut sudut.
Ruas garis JC akan disebut diagonal dari polihedron, dilambangkan dengan:
JC adalah salah satu diagonal, kami mengerti diagonal dari polihedron sebagai ruas garis yang menghubungkan dua simpul yang tidak berwajah sama same.
Kami juga memiliki sudut polihedral, yang terbentuk di antara tepi, dilambangkan dengan:
Sudut polihedral disebut bersegi tiga Kapan tiga tepi berasal dari sebuah simpul. Demikian juga, disebut tetrahedral, kasus empat tepi berasal dari simpul, dan seterusnya.
Mulai sekarang, kita akan membuat beberapa notasi, yaitu:
Tahu lebih banyak: Perencanaan padatan geometris
Sifat-sifat Polihedron Cembung
Properti 1
Jumlah tepi semua wajah sama dengan dua kali jumlah tepi polihedron.
Contoh
Sebuah polihedron memiliki 6 wajah persegi. Mari kita tentukan jumlah sisinya.
Menurut properti, cukup kalikan jumlah tepi wajah dengan jumlah wajah, dan ini sama dengan dua kali jumlah tepi. Jadi:
Properti 2
Jumlah simpul dari semua sisi sama dengan jumlah sisi dari semua sisi, yang sama dengan dua kali jumlah sisi.
Contoh
Sebuah polihedron dengan 5 sudut tetrahedral dan 4 sudut heksahedral. Mari kita tentukan jumlah sisinya.
Analog dengan contoh sebelumnya, properti kedua mengatakan bahwa jumlah tepi semua wajah sama dengan dua kali jumlah tepi. Jumlah tepi diberikan oleh produk dari 5 dengan 4 dan 4 dengan 6, karena mereka adalah 5 tetrahedral dan 4 sudut heksahedral. Jadi:
Polihedra cekung (tidak cembung)
Sebuah polihedron adalah non-cembung, atau cekung, ketika kita mengambil dua titik pada wajah yang berbeda dan garis lurus r yang berisi titik-titik tersebut tidak semuanya terdapat dalam polihedron.
Perhatikan bahwa garis lurus (berwarna biru) tidak lengkap pada polihedron, sehingga polihedron (berwarna merah muda) cekung atau tidak cembung.
polihedral biasa
Kami mengatakan bahwa polihedron beraturan ketika wajahmu adalah poligon biasa sama satu sama lain dan dengan sudut polihedral semuanya sama.
Lihat beberapa contoh:
Perhatikan bahwa semua wajah Anda adalah poligon biasa. Wajahnya dibentuk oleh bujur sangkar dan ujung-ujungnya semua kongruen, yaitu memiliki ukuran yang sama.
Bacajuga: Apa itu poligon beraturan dan cembung?
hubungan Euler
Juga dikenal sebagai teorema Euler, hasilnya dibuktikan oleh Leonhard Euler (1707 - 1783) dan menjamin bahwa dalam semua polihedron cembung tertutup hubungan berikut ini berlaku:
Polihedra Plato
Setiap polihedron yang memenuhi kondisi berikut disebut polihedron Plato:
Relasi Euler valid
Semua wajah memiliki jumlah sisi yang sama
Semua sudut polihedral memiliki jumlah sisi yang sama
Terbukti bahwa hanya ada lima polihedra beraturan dan cembung, atau polihedra Plato, yaitu:
tetrahedron biasa
tetrahedron memiliki 4 wajah segitiga kongruen dan 4 sudut segitiga kongruen.
segi enam biasa
segi enam memiliki 6 wajah persegi kongruen dan 8 sudut segitiga kongruen.
segi delapan biasa
segi delapan memiliki 8 wajah segitiga kongruen dan 6 sudut tetrahedral kongruen.
dodecahedron biasa
dodecahedron memiliki 12 wajah segi lima kongruen dan 20 sudutbersegi tiga kongruen.
ikosahedron biasa
Ikosahedron memiliki 20 wajah segitiga kongruen dan 12 sudut pentahedral kongruen.
latihan yang diselesaikan
1) (Musuh) Sebuah permata dipotong dalam bentuk polihedron cembung 32-wajah, 20 di antaranya adalah heksahedra dan sisanya adalah segi lima. Permata ini akan menjadi hadiah untuk seorang wanita yang merayakan ulang tahunnya, menyelesaikan usia yang jumlahnya adalah jumlah simpul dari polihedron ini. Wanita ini sedang menyelesaikan:
a) 90 tahun
b) 72 tahun
c. 60 tahun
d) 56 tahun
e) 52 tahun
Larutan:
memberikan properti 1 dari polyhedra cembung kita tahu bahwa:
Sekarang bagaimana kita tahu jumlah rusuknya ini adalah jumlah wajah, kita dapat menggunakan relasi Euler.
Karena usia yang Anda selesaikan sama dengan jumlah simpul, maka ini adalah 60 tahun. Alternatif c.
2) (PUC-SP) Berapa banyak sisi polihedron cembung dengan wajah segitiga di mana jumlah simpul adalah tiga perlima jumlah wajah?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Larutan:
Dari sifat-sifat polihedron cembung dan pernyataan latihan kita dapatkan:
Mengganti nilai-nilai ini dalam hubungan Euler, kami memiliki yang berikut:
Mengorganisasikan persamaan sebelumnya dan menyelesaikan persamaan dalam F, maka:
Mengganti nilai jumlah wajah yang ditemukan dalam persamaan tepi, kita akan memiliki:
Alternatif b
oleh Robson Luis
Guru matematika
