pemahaman tentang set merupakan dasar utama untuk mempelajari aljabar dan konsep yang sangat penting dalam Matematika, seperti, fungsi dan ketidaksetaraan. Notasi yang kita gunakan untuk himpunan selalu huruf besar dari alfabet kita (misalnya himpunan A atau himpunan B).
Istilah dari representasi himpunan, itu bisa dilakukan oleh diagram Venn, dengan hanya menggambarkan sifat-sifat unsur-unsurnya, dengan menyebutkan unsur-unsurnya atau dengan menggambarkan sifat-sifatnya. Ketika bekerja dengan masalah yang melibatkan set, ada situasi yang membutuhkan kinerja operasi antar set, menjadi serikat, persimpangan dan perbedaan. Apakah kita akan mempelajari semua ini secara detail?
Lihat juga: Ekspresi numerik – belajar untuk menyelesaikannya!
Notasi dan representasi himpunan
Untuk representasi suatu himpunan, kita selalu menggunakan a huruf kapital abjad, dan unsur-unsurnya selalu berada di antara kunci dan dipisahkan dengan koma. Untuk menyatakan himpunan bilangan genap yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20, misalnya, kita menggunakan notasi berikut: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Bentuk representasi himpunan
representasi dengan enumerasi: kita dapat menghitung elemen-elemennya, yaitu, membuat daftar, selalu di antara kurung kurawal. Lihat contoh:
A = {1,5,9,12,14,20}
menggambarkan fitur: kita cukup menggambarkan karakteristik himpunan. Sebagai contoh, misalkan X suatu himpunan, kita memiliki bahwa X = {x adalah bilangan positif kelipatan 5}; Y: adalah himpunan bulan dalam setahun.
Diagram Venn: himpunan juga dapat direpresentasikan dalam bentuk diagram, yang dikenal sebagai diagram Venn, yang merupakan representasi yang lebih efisien untuk melakukan operasi.
Contoh:
Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5}, kita dapat merepresentasikannya dalam diagram Venn berikut:
Elemen himpunan dan hubungan keanggotaan
Mengingat elemen apa pun, kita dapat mengatakan bahwa elemen milik ke set atau bukan milik ke himpunan itu. Untuk merepresentasikan hubungan keanggotaan ini dengan lebih cepat, kami menggunakan simbol
(dibaca sebagai milik) dan (dibaca sebagai bukan milik). Misalnya, misalkan P adalah himpunan dari nomor pasangan, kita dapat mengatakan bahwa 7 P dan 12 P.
Kesetaraan himpunan
Perbandingan antar himpunan tidak dapat dihindari, sehingga kita dapat mengatakan bahwa dua himpunan sama atau tidak, dengan memeriksa setiap elemennya. Misalkan A = { 0,1,3,4,8} dan B = { 8,4,3,1,0}, meskipun susunan anggotanya berbeda, kita dapat mengatakan bahwa himpunan A dan B adalah sama: A = B
hubungan inklusi
Saat membandingkan dua himpunan, kita dapat menemukan beberapa hubungan, dan salah satunya adalah hubungan inklusi. Untuk hubungan ini, kita perlu mengetahui beberapa simbol:
⊃ → berisi→ terkandung
⊅ → tidak mengandung→tidak terkandung
Tip: Sisi pembuka simbol akan selalu menghadap set yang lebih besar. |
Jika semua anggota himpunan A juga termasuk dalam himpunan B, kita katakan bahwa A ⊂ B atau bahwa A terkandung dalam B. Misalnya, A={1,2,3} dan B={1,2,3,4,5,6}. Dimungkinkan juga untuk melakukan representasi dengan diagram Venn, yang akan terlihat seperti ini:
A terkandung dalam B:
A B
himpunan bagian
Ketika sebuah hubungan inklusi, yaitu himpunan A terdapat pada himpunan B, kita dapat mengatakan bahwa A adalah himpunan bagian dari B. Subset tetap satu set, dan a himpunan dapat memiliki beberapa himpunan bagian, dibangun dari elemen-elemen yang dimilikinya.
Sebagai contoh: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} memiliki himpunan bagian B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} dan bahkan himpunan A {1,2,3,4,5,6,7,8}, yaitu, A adalah himpunan bagian dari dirinya sendiri.
himpunan kesatuan
Seperti namanya, set itulah yang hanya memiliki satu elemen, seperti kumpulan D:{1} yang ditampilkan sebelumnya. Mengingat himpunan B: {1,2,3}, kita memiliki himpunan bagian {1}, {2} dan {3}, yang semuanya merupakan himpunan unit.
PERHATIAN: Himpunan E: {0} juga merupakan himpunan kesatuan, karena memiliki elemen tunggal, “0”, dan bukan merupakan himpunan kosong.
Baca juga: Himpunan bilangan bulat - elemen dan karakteristik
set kosong
Dengan nama yang lebih sugestif, himpunan kosong tidak memiliki elemen dan merupakan subset dari himpunan apa pun. Untuk merepresentasikan himpunan kosong, ada dua kemungkinan representasi, yaitu V: {} atau simbol .
Set bagian
Kita tahu sebagai himpunan bagian semua himpunan bagian yang mungkin dari himpunan yang diberikan. Misalkan A: {1,2,3,4}, kita dapat membuat daftar semua himpunan bagian dari himpunan A ini dimulai dengan himpunan yang tidak memiliki elemen (kosong) dan kemudian yang memiliki satu, dua, tiga dan empat elemen, masing-masing.
set kosong: { };
Satuan set: {1}; {2};{3}; {4}.
Set dengan dua elemen: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
set dengan tiga elemen: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Ditetapkan dengan empat elemen: {1,2,3,4}.
Oleh karena itu, kita dapat menggambarkan himpunan bagian dari A dengan cara ini:
P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }
Untuk mengetahui berapa banyak bagian yang mungkin untuk membagi satu set, kami menggunakan rumus:
n[P(A)] = 2tidak
Jumlah bagian dari A dihitung dengan potensi basis 2 dinaikkan menjadi tidak, tentang apa tidak adalah jumlah elemen dalam himpunan.
Pertimbangkan himpunan A: {1,2,3,4}, yang memiliki empat elemen. Jumlah himpunan bagian yang mungkin dari himpunan ini adalah 24 =16.
Baca juga: Apa himpunan bilangan irasional?
Himpunan Tak Terbatas dan Tak Terbatas
Saat bekerja dengan himpunan, kita menemukan himpunan yang terbatas (terbatas) dan mereka yang tak terbatas (tak terbatas). Sekumpulan dari bilangan genap atau ganjil, misalnya, tidak terbatas dan, untuk mewakilinya, kami menggambarkan beberapa elemennya secara berurutan, sehingga memungkinkan untuk memprediksi apa elemen berikutnya, dan kami menempatkan elips di Terakhir.
Saya: {1,3,5,7,9,11...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Namun, dalam himpunan berhingga, kita tidak meletakkan elips di akhir, karena ia memiliki awal dan akhir yang ditentukan.
J: {1,2,3,4}.
set alam semesta
HAI set alam semesta, dilambangkan dengan kamu, didefinisikan sebagai himpunan yang dibentuk oleh semua elemen yang harus diperhatikan dalam suatu masalah. Setiap elemen milik himpunan semesta dan setiap himpunan terkandung dalam himpunan semesta.
Operasi dengan set
Operasi dengan himpunan adalah: serikat, persimpangan dan perbedaan.
Persimpangan set
Persimpangan terjadi ketika elemen milik secara bersamaan ke satu atau lebih set. Saat menulis A∩B, kami mencari elemen yang termasuk dalam himpunan A dan himpunan B.
Contoh:
Perhatikan A= {1,2,3,4,5,6} dan B = {2,4,6,7,8}, anggota himpunan A dan himpunan B adalah: A∩B = { 2 ,4,6}. Representasi dari operasi ini dilakukan sebagai berikut:
A∩B
Ketika himpunan tidak memiliki elemen yang sama, mereka dikenal sebagai set yang terputus-putus.
A∩B =
perbedaan antar set
menghitung perbedaan antara dua himpunan adalah mencari elemen yang hanya dimiliki oleh salah satu dari dua himpunan. Misalnya, A – B memiliki jawaban sebagai himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan A dan bukan milik himpunan B.
Contoh: A: {1,2,3,4,5,6} dan B: {2,4,6,7,8}. Perhatikan bahwa A B ={2,4,6}, jadi kita dapatkan:
a) A - B = { 1,3,5 }
b) B – A = {7,8}
Kesatuan
Gabungan dua atau lebih himpunan adalah bergabung dengan persyaratan Anda. Jika ada elemen yang diulang di kedua set, mereka hanya ditulis sekali. Misalnya: A={1,2,3,4,5} dan B={4,5,6,7,10,14}. Untuk mewakili serikat, kami menggunakan simbol (berbaca: A serikat dengan B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Untuk mempelajari lebih lanjut tentang operasi ini dan memeriksa beberapa latihan yang diselesaikan, baca: Operasi dengan set.
Hukum Morgan
Misalkan A dan B adalah dua himpunan dan misalkan U himpunan semesta, ada dua sifat yang diberikan oleh Hukum Morgan, yaitu:
(A U B)ç = Aç Bç
(A B)ç = Aç U Bç
Contoh:
Mengingat set:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
J: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Mari kita periksa itu (A U B)ç = Aç Bç. Jadi, kita harus:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Oleh karena itu, (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Untuk memeriksa kebenaran persamaan, mari kita analisis operasi Aç Bç:
ITUç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Kemudian, ITUç Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç Bç
latihan yang diselesaikan
01) Pertimbangkan U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} dan B: {4,5,6, 7,8,9}. Tunjukkan bahwa (A B)ç = Aç U Bç.
Resolusi:
langkah pertama: cari (A B)ç. Untuk itu, kita memiliki bahwa A B = {4,5,6}, jadi (A B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
langkah ke-2: menemukan sebuahç U Bç. ITUç:{7,8,9,10} dan Bç:{1,2,3,10}, jadi Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Tunjukkan bahwa (A B)ç = Aç U Bç.
02) Mengetahui bahwa A adalah himpunan bilangan genap dari 1 sampai 20, berapa jumlah himpunan bagian yang dapat kita bangun dari elemen-elemen himpunan itu?
Resolusi:
Biarkan P menjadi himpunan yang dijelaskan, kita memiliki bahwa P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Jadi, jumlah elemen P adalah 10.
Dengan teori himpunan bagian, banyaknya kemungkinan himpunan bagian dari P adalah:
210=1024
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika