HAI Rencana Argand-Gauss itu terdiri dari dua sumbu: satu vertikal (dikenal sebagai sumbu imajiner) dan satu horizontal (dikenal sebagai sumbu nyata). Itu mungkin secara geometris mewakili bilangan kompleksyang berbentuk aljabar.
Melalui representasi geometris ini, dimungkinkan mengembangkan beberapa konsep, seperti modul dan argumen dari bilangan kompleks. Bilangan kompleks dilambangkan secara aljabar dengan z = a + bi, sehingga dilambangkan dengan titik (a, b), yang disebut afiks.
Baca juga: Representasi geometris dari jumlah bilangan kompleks
Representasi geometris bilangan kompleks complex
Bidang kompleks, juga dikenal sebagai bidang Argand-Gauss, tidak lebih daripesawat kartesius untuk bilangan kompleks. Dalam bidang Argand-Gauss, bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai titik, yang dikenal sebagai afiks. Dengan pengembangan rencana yang kompleks, ada perkembangan dari geometri analitik untuk bilangan kompleks, yang memungkinkan untuk mengembangkan konsep penting seperti modul dan argumen.
Bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk aljabarnya adalah z = a+bi, tentang apa Itu adalah bagian nyata dan B adalah bagian imajiner. Karena itu, bilangan kompleks direpresentasikan sebagai titik (a, b). Pada bidang Argand-Gauss, sumbu horizontal adalah sumbu bagian nyata dan sumbu vertikal adalah sumbu bagian imajiner.
Afiks
HAI titik pada bidang yang mewakili bilangan kompleks itu juga disebut afiks. Ada tiga kemungkinan kasus representasi: imbuhan imajiner, imbuhan nyata dan imbuhan imajiner murni.
imbuhan imajiner
Sebuah afiks dikenal sebagai imajiner ketika bilangan kompleks memiliki keduanya bagian nyata dan bagian imajiner bukan nol. Dalam hal ini afiks adalah titik di salah satu dari empat kuadran, tergantung pada nilai a, b dan tandanya masing-masing.
Contoh:
Lihat representasi bilangan kompleks z1 = 2 +3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i dan z4= 1 - 4i.
Lihat juga: Sifat-sifat yang melibatkan bilangan kompleks
afiks imajiner murni
Bilangan kompleks disebut bilangan imajiner murni, ketika bagian asli Anda sama dengan nol, yaitu z = bi. Perhatikan bahwa dalam hal ini koordinat pertama selalu nol, jadi mari kita bekerja dengan titik bertipe (0, b). Saat menandai di bidang Argand-Gauss, afiks imajiner murni selalu akan menjadi titik milik sumbu imajiner, yaitu terhadap sumbu vertikal.
Contoh:
Lihat representasi bilangan kompleks z1 = 2i dan z2= -3i.
imbuhan nyata
Bilangan kompleks diklasifikasikan sebagai bilangan aslikapan kamu bagian imajiner sama dengan nol, yaitu z = a. Dalam hal ini, koordinat kedua selalu nol, jadi kita akan bekerja dengan titik-titik bertipe (a, 0), sehingga bagian imajinernya adalah nol dan afiksnya terdapat pada sumbu real bidang kompleks.
Contoh:
Lihat representasi bilangan kompleks z1 = 2 dan z2 = -4.
Modul bilangan kompleks
Untuk menyatakan bilangan kompleks, misalkan P (a, b) adalah afiks dari bilangan kompleks z = a + bi. Kita tahu modul bilangan kompleks a jarak dari titik P ke titik asal. Modulus bilangan kompleks z dilambangkan dengan |z|. Untuk mencari nilai |z|, kita menggunakan teori Pitagoras.
|z|² =a²+b²
Kami juga dapat diwakili oleh:
Contoh:
Tentukan modulus bilangan kompleks z = 12 -5i.
|z|² = 12² + (-5)²
|z|² 144 + 25
|z|²= 169
|z|=√169
|z| = 13
Juga akses: Apa itu bilangan rasional?
argumen bilangan kompleks
Kami tahu caranya argumen bilangan kompleks HAI sudut yang dibentuk oleh vektor OP dan sumbu real. Argumen suatu bilangan diwakili oleh arg(z) = .
Untuk mencari sudut, kita menggunakan rasio trigonometri sinus dan cosinus.
Untuk menemukan nilai argumen, mengetahui sinus dan cosinus, adil lihat tabel nilai untuk rasio trigonometri ini. Biasanya, dalam ujian masuk perguruan tinggi tentang topik ini, argumennya adalah sudut yang luar biasa.
Contoh:
Temukan argumen bilangan kompleks z = 1 + i.
Pertama mari kita hitung modulus z.
|z|² = 1² + 1²
|z|² = 1+1
|z|² = 2
|z| = 2
Mengetahui |z|, kita dapat menghitung sinus dan cosinus dari sudut.
Sudut yang memiliki sinus dan cosinus dengan nilai yang ditemukan adalah 45º.
latihan yang diselesaikan
Pertanyaan 1 - Apa argumen dari bilangan kompleks z = 3+ i ?
A) tanggal 30
B) 45
C) 60th
D) 90º
E) ke-120
Resolusi
Alternatif C.
Kita tahu bahwa a = 3 dan b = 1, jadi:
Pertanyaan 2 - Dalam rencana kompleks berikut, beberapa nomor telah diwakili. Menganalisis rencana, kita dapat mengatakan bahwa poin adalah representasi dari bilangan imajiner murni:
A) M, N dan I.
B) P dan I
C) L dan G
D) O, saya, G
E) K, J dan L.
Resolusi
Alternatif B
Untuk mengidentifikasi bilangan imajiner murni pada bidang kompleks, perlu berada di atas sumbu vertikal, yang, dalam hal ini, adalah titik P dan I.
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
