lingkaran trigonometri adalah lingkaran berjari-jari 1 yang dilambangkan dengan pesawat kartesius. Di dalamnya, sumbu horizontal adalah sumbu cosinus dan sumbu vertikal adalah sumbu sinus. Ini juga bisa disebut siklus trigonometri.
Ini digunakan untuk melakukan studi tentang rasio trigonometri. Dengan itu, dimungkinkan untuk lebih memahami alasan trigonometri utama untuk sudut lebih besar dari 180º, yaitu: sinus, cosinus dan tangen.
Baca juga: 4 kesalahan paling umum dalam Trigonometri Dasar
Langkah demi langkah untuk membangun lingkaran trigonometri
Untuk membuat lingkaran trigonometri, kami menggunakan dua sumbu, satu vertikal dan satu horizontal, seperti bidang Cartesian. Sumbu horizontal dikenal sebagai sumbu kosinus, dan sumbu vertikal dikenal sebagai sumbu sinus.
Dengan konstruksi sumbu, mari kita menggambar grafik lingkaran yang memiliki jari-jari 1.
Perbandingan trigonometri dalam lingkaran
Kami menggunakan lingkaran untuk mencari nilai sinus, cosinus dan tangen, sesuai dengan nilai sudut. memiliki sumbu vertikal nilai sinus dan pada sumbu horizontal nilai cosinus, dengan menentukan sudut pada lingkaran trigonometri, dimungkinkan untuk menemukan nilai sinus dan cosinus dengan menganalisis koordinat titik di mana segmen garis menghubungkan pusat lingkaran dan keliling, diwakili oleh P pada gambar a mengikuti. Jika kita menggambar garis singgung lingkaran di titik (1.0), kita juga dapat menghitung garis singgung sudut ini secara analitik sesuai dengan gambar:
Baca juga: Apa yang dimaksud dengan secan, cosecan, dan kotangen?
Trigonometri Lingkaran Radian
Kita tahu bahwa busur dapat diukur menggunakan dua unit pengukuran yang berbeda: ukuran dalam derajat dan ukuran dalam radian. Kami tahu itu kelilingnya 360 dan panjang busur Anda adalah 2π:
Kuadran dari lingkaran trigonometri
Baik dalam radian atau derajat, adalah mungkin untuk menentukan kuadran di mana busur tertentu terletak menurut pengukurannya.
Menganalisis siklus, kita harus:
kuadran pertama: sudut antara 0 sampai 90° atau 0 dan /2 radian;
kuadran kedua: sudut antara 90° dan 180° atau /2 dan radian;
kuadran ketiga: sudut antara 180º dan 270º atau dan 3 /2 radian;
kuadran keempat: sudut antara 270 ° dan 360 ° atau 3π/2 dan 2π radian.
Baca juga: Karakteristik dan properti rencana
Sudut luar biasa dalam lingkaran trigonometri
Pada awal studi trigonometri, kita belajar bahwa sudut-sudut penting adalah sudut 30º, 45º dan 60º, yang memiliki nilai sinus, cosinus, dan tangen yang diketahui. Namun, karena simetri dari siklus trigonometri, dimungkinkan untuk menemukan nilai sinus dan cosinus untuk sudut-sudut ini dan sudut-sudut simetris kepadanya di setiap kuadran.
Tanda Lingkaran Trigonometri
Untuk memahami apa tanda dari masing-masing rasio trigonometri dalam siklus, cukup dengan menganalisis nilai sumbu pada bidang Cartesian.
Mari kita mulai dengan kosinus. Karena merupakan sumbu horizontal, kosinus sudut yang terletak di sebelah kanan sumbu vertikal adalah positif, dan kosinus sudut yang terletak di sebelah kiri sumbu vertikal adalah negatif.
Sekarang, untuk memahami tanda sinus suatu sudut, ingat saja bahwa sumbu vertikal adalah sumbu sinus, jadi sinus sudut yang berada di atas sumbu horizontal adalah positif; tetapi jika sudutnya di bawah sumbu horizontal, sinus sudut ini negatif, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Kami tahu itu tangen adalah perbandingan antara sinus dan cosinus, kemudian, untuk menemukan tanda garis singgung untuk masing-masing kuadran, kita memainkan permainan tanda, yang membuat garis singgung positif di kuadran ganjil dan negatif di kuadran genap:
Baca juga: Apa yang dimaksud dengan semi lurus, semi datar, dan semi luar angkasa?
simetri dalam lingkaran
Menganalisis siklus trigonometri, adalah mungkin untuk membangun cara untuk mengurangi sinus, cosinus dan tangen ke kuadran pertama first. Pengurangan ini berarti menemukan di kuadran pertama sebuah sudut yang simetris dengan sudut kuadran lainnya, karena, ketika kita bekerja dengan sudut simetris, nilai rasio trigonometri adalah sama, hanya mengubah sinyal.
Pengurangan sudut yang ada di kuadran 2 menjadi kuadran 1
Dimulai dengan sudut-sudut yang berada di kuadran ke-2, kita harus:
Seperti yang kita ketahui, di kuadran 1 dan 2, sinus positif. Jadi, untuk menghitung pengurangan sinus dari kuadran 2 ke kuadran 1, kami menggunakan rumus:
sin x= sin (180º - x)
Cosinus dan tangen di kuadran 2 negatif. Untuk mengurangi kosinus dari kuadran 2 ke kuadran 1, kami menggunakan rumus:
cosx = – cos (180º – x)
tg x = – tg (180º – x)
Contoh:
Berapakah nilai sinus dan cosinus dari sudut 120°?
Sudut 120° adalah sudut kuadran kedua karena berada di antara 90° dan 180°. Untuk mengurangi sudut ini ke kuadran 1, kami menghitung:
sin 120° = sin (180° – 120°)
sin 120º = dosa 60º
Sudut 60 ° adalah sudut yang luar biasa, sehingga nilai sinusnya diketahui, jadi:
Sekarang mari kita hitung kosinus Anda:
cos 120º = – cos (180 – 120)
cos 120º = - cos 60º
Seperti yang kita ketahui cosinus dari 60º, kita harus:
Pengurangan sudut yang ada di kuadran 3 menjadi kuadran 1
Seperti pada kuadran ke-2, terdapat simetri antara sudut-sudut di kuadran ke-3 dan sudut-sudut di kuadran ke-1.
Sinus dan cosinus di kuadran ketiga negatif. Jadi, untuk mengurangi sinus dan cosinus dari kuadran 3 ke kuadran 1, kami menggunakan rumus:
sin x = – sin (x – 180º)
cosx = – cos (x – 180º)
Garis singgung di kuadran 3 positif. Untuk menguranginya, kami menggunakan rumus:
tg x = tg (x – 180º)
Contoh:
Hitung sinus, cosinus, dan tangen dari 225º.
sin 225º = – sin (225º – 180º)
sin 225º = – sin 45º
Karena 45º adalah sudut yang luar biasa, saat berkonsultasi dengan meja, kita harus:
Sekarang, menghitung cosinus, kita harus:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Kita tahu bahwa tg45º = 1, jadi:
tg 225º = 1
Pengurangan sudut yang berada di kuadran 4 menjadi kuadran 1
Dengan alasan yang sama seperti pengurangan sebelumnya, ada simetri antara kuadran ke-4 dan ke-1:
Nilai sinus dan tangen di kuadran ke-4 negatif. Jadi, untuk melakukan pengurangan dari kuadran 4 ke 1, kami menggunakan rumus:
sin x = – sin (360º – x)
tg x = – tg (360º – x)
Kosinus di kuadran ke-4 adalah positif. Jadi, untuk mengurangi ke kuadran 1, rumusnya adalah:
cos x = cos (360º - x)
Contoh:
Hitung nilai sinus dan cosinus dari 330º.
Dimulai dengan sinus:
Sekarang menghitung kosinus:
Baca juga: Bagaimana cara menghitung jarak antara dua titik dalam ruang?
Latihan Soal Lingkaran Trigonometri
pertanyaan 1 - Selama mempelajari momen melingkar, seorang fisikawan menganalisis sebuah benda yang berputar mengelilingi dirinya sendiri, membentuk sudut 15.240º. Menganalisis sudut ini, busur yang dibentuk olehnya ada di:
A.kuadran I
B) kuadran II.
C) kuadran III.
D) kuadran IV.
E) di atas salah satu sumbu.
Resolusi
Alternatif B
Kita tahu bahwa setiap 360° objek ini telah menyelesaikan lingkaran di sekelilingnya. Saat melakukan divisi dari 15.240 kali 360, kita akan menemukan berapa banyak putaran lengkap yang telah dibuat objek ini di sekelilingnya, tetapi minat utama kita adalah pada sisanya, yang mewakili sudut di mana ia berhenti.
15.240: 360 = 42,333…
Hasilnya menunjukkan bahwa dia melakukan 42 putaran, tetapi 360 · 42 = 15.120, jadi dia meninggalkan sudut:
15.240 – 15.120 = 120º
Kita tahu bahwa 120 ° adalah sudut kedua kuadran.
Pertanyaan 2 - Silakan menilai pernyataan berikut:
I → Saat menghitung tg 140º, nilainya akan negatif.
II → Sudut 200° adalah sudut kuadran ke-2.
III → Sen 130º = sin 50º.
Tandai alternatif yang benar:
A) Hanya saya yang salah.
B) Hanya II yang salah.
C) Hanya III yang salah.
D. Semua benar.
Resolusi
Alternatif B
I → Benar, karena sudut 140º termasuk dalam kuadran ke-2, di mana garis singgungnya selalu negatif.
II → Salah, karena sudut 200° merupakan sudut kuadran ke-3.
III → Benar, karena untuk memperkecil sudut dari kuadran 2 ke kuadran 1, hitung saja selisih 180° – x, maka:
sin 130° = sin (180° – 130°)
dosa ke-130 = dosa ke-50
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm