Ini dikenal sebagai bilangan rasional setiap nomor yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan yang tidak dapat direduksi. Sepanjang sejarah manusia, gagasan tentang bilangan berangsur-angsur berkembang sesuai dengan kebutuhan manusia. Representasi angka dalam pecahan, misalnya, memecahkan masalah yang diselesaikan hanya dengan bilangan bulat.
Bilangan rasional dapat direpresentasikan dari pecahan, jadi ada metode untuk mengubah bilangan bulat, angka desimal desimal eksak dan periodik dalam pecahan.
Baca juga: Operasi dengan pecahan – bagaimana menyelesaikannya?
Apa itu bilangan rasional?
Bilangan rasional adalah perluasan himpunan bilangan bulat, kemudian, selain bilangan bulat, ditambahkan semua pecahan. HAI set bilangan rasional diwakili oleh:
Apa yang dikatakan representasi ini adalah bahwa suatu bilangan rasional jika dapat direpresentasikan sebagai pecahan Itu tentang B, seperti yang Itu adalah bilangan bulat dan B adalah bilangan bulat bukan nol. Tetapi jika kita ingin mendefinisikan bilangan rasional dengan kurang ketat, kita dapat mengatakan yang berikut:
Bilangan rasional adalah semua bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan. |
Memenuhi definisi ini:
kamu bilangan bulats, misalnya: -10, 7, 0;
kamu bilangan desimal yang tepat, misalnya: 1,25; 0,1; 3,1415;
di persepuluhan periodik sederhana, misalnya: 1.424242…;
di persepuluhan periodik, misalnya: 1.0288888…
Tidak adalah bilangan rasional:
Di persepuluhan tidak berkala, misalnya: 4,1239489201…;
Di akartidak tepat, sebagai contoh:
;- ITU kataksayaz kuadrat dari angka negatif, sebagai contoh:
.
Pengamatan: Adanya bilangan nonrasional menyebabkan munculnya himpunan lain, seperti bilangan irasional dan bilangan kompleks.
Representasi bilangan rasional
Memahami bahwa pecahan adalah divisi dari dua bilangan bulat, menjadi bilangan rasional, Anda dapat mewakili angka ini sebagai pecahan. Oleh karena itu, setiap kasus yang disebutkan di atas sebagai bilangan rasional (bilangan bulat, desimal eksak, dan desimal periodik) dapat direpresentasikan sebagai pecahan.
bilangan bulat
Ada kemungkinan tak terbatas untuk mewakili bilangan bulat sebagai pecahan, karena pecahan dapat direpresentasikan dalam bentuk yang tidak dapat direduksi atau tidak.
Contoh:
desimal yang tepat
Untuk mengubah bilangan desimal eksak menjadi a pecahan, kami menghitung jumlah angka di bagian desimalnya, yaitu setelah titik desimal. Jika ada angka setelah koma, kami akan menulis bagian bilangan bulat ditambah bagian desimal tanpa koma lebih dari 10. Jika ada dua angka di bagian desimal di atas 100, dalam praktiknya, jumlah angka di bagian desimal akan menjadi jumlah nol yang kita miliki di penyebut. Lihat contohnya:
persepuluhan berkala
Menemukan representasi pecahan dari persepuluhan tidak selalu merupakan tugas yang mudah, apa yang kita sebut menghasilkan pecahan. Untuk memudahkan pekerjaan ini, diamati bahwa, dalam persamaan yang kami gunakan untuk menemukan fraksi pembangkit, ada keteraturan, yang memungkinkan pengembangan metode praktis.
Pertama, kita perlu memahami bahwa ada dua jenis persepuluhan periodik, sederhana dan majemuk. Satu persepuluhan itu sederhana jika, dalam bagian desimalnya, hanya ada bagian yang berulang, yaitu periode. Satu persepuluhan adalah gabungan jika, di bagian desimalnya, ada bagian non-periodik.
Contoh:
9,323232… → desimal periodik sederhana
Bagian bilangan bulat sama dengan 9.
Periode sama dengan 32.
8,7151515… → persepuluhan periodik gabungan
Bagian bilangan bulat sama dengan 8.
Bagian desimal non-periodik sama dengan 7.
Periode sama dengan 15.
Lihat juga: Pecahan senilai - pecahan yang mewakili jumlah yang sama
→ Kasus pertama: menghasilkan pecahan dari desimal periodik sederhana
Dalam kasus pertama, untuk mengubah desimal periodik sederhana menjadi pecahan into dengan cara praktis, tulis saja seluruh bagiannya ditambah titik tanpa koma di pembilangnya. Dalam penyebut, untuk setiap elemen di bagian periodik, kami menambahkan 9.
Contoh:
Pecahan pembangkit dari 9.323232…, seperti yang telah kita lihat, memiliki periode yang sama dengan 32, yaitu dua bilangan pada periodenya, sehingga penyebutnya adalah 99. Bagian bilangan bulat ditambah bagian periodik tanpa koma adalah 932, yang merupakan pembilangnya. Jadi, fraksi pembangkit dari persepuluhan ini adalah:
→ Kasus ke-2: menghasilkan pecahan desimal periodik komposit
Persepuluhan komposit periodik sedikit lebih melelahkan. Mari kita cari fraksi penghasil dari persepuluhan yang kita kerjakan dalam contoh.
8,7151515… → desimal gabungan periodik.
Bagian bilangan bulat sama dengan 8.
Bagian desimal non-periodik sama dengan 7.
Bagian desimal dari periode sama dengan 15.
Pembilangnya akan menjadi pengurangan 8715 – 87, yaitu selisih antara bilangan yang berpindah dari bagian utuh ke bagian periodik dengan bagian persepuluhan yang tidak berulang.
Pembilangnya akan sama dengan 8715 – 87 = 8628.
Untuk mencari penyebutnya, mari kita analisis bagian desimalnya. Pertama mari kita lihat bagian desimal non-periodik dan periodik. Dalam hal ini, bagian desimal dari bilangan tersebut adalah 715. Untuk setiap bilangan yang ada pada bagian periodik, mari kita tambahkan a 9 di awal penyebut. Karena bagian periodik dalam hal ini memiliki dua angka (15), akan ada dua angka 9 pada penyebutnya. Untuk setiap bilangan di bagian desimal yang tidak periodik, kita akan menambahkan a 0 di akhir penyebut, yang akan menjadi 990.
Segera, menghasilkan pecahan dari persepuluhan adalah:
Sifat-sifat bilangan rasional
Di antara dua bilangan rasional, akan selalu ada bilangan rasional lainnya
Sangat menarik untuk memikirkan properti ini, yang banyak dibahas oleh orang-orang kuno, menjadi sebuah paradoks. Memilih dua bilangan rasional, akan selalu ada bilangan di antara keduanya.
Contoh:
Antara 1 dan 2, ada 1,5; antara 1 dan 1,5, ada 1,25; antara 1 dan 1,25, ada 1,125 dan seterusnya. Sebanyak saya memilih dua bilangan rasional dengan perbedaan yang sangat kecil di antara keduanya, selalu mungkin untuk menemukan bilangan rasional di antara keduanya. Properti ini membuat mustahil untuk mendefinisikan penerus dan pendahulu dalam bilangan rasional.
Empat operasi pada himpunan bilangan rasional tertutup
Kami mengatakan bahwa himpunan tertutup untuk jumlah, misalnya, jika jumlah dua bilangan rasional selalu menghasilkan bilangan rasional lain sebagai jawaban. Inilah yang terjadi dengan empat operasi pada Q.
ITU penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian antara dua bilangan rasional akan selalu menghasilkan bilangan rasional. Bahkan, potensiasi dari bilangan rasional akan selalu menghasilkan bilangan rasional sebagai tanggapan.
Himpunan bilangan rasional tidak tertutup untuk radiasi. Jadi, sayakarena 2 adalah bilangan rasional, akar kuadrat dari 2 adalah a bilangan irasional.
Lihat juga: Pecahan senilai - pecahan yang mewakili jumlah yang sama
Himpunan dari bilangan rasional
Kami tahu caranya himpunan bagian atau relasi inklusi himpunan yang dibentuk oleh elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan bilangan rasional. Ada beberapa kemungkinan himpunan bagian possible, sebagai himpunan bilangan bulat atau alam, karena setiap bilangan bulat adalah rasional, sama seperti setiap bilangan asli adalah rasional.
Contoh:
Himpunan bilangan bulat: Z= {…-3, -2, -1, 0.1, 2, 3, …}.
Ketika itu terjadi, kami mengatakan itu Z Q (Bunyinya: Z terkandung dalam Q atau himpunan bilangan bulat terkandung dalam himpunan bilangan rasional.)
Ada beberapa simbol yang penting untuk membuat himpunan bagian dari Q, yaitu: +,- dan *, yang masing-masing berarti positif, negatif, dan bukan nol.
Contoh:
Q* → (baca: himpunan bilangan rasional bukan nol.)
Q+ → (baca: himpunan bilangan rasional positif.)
Q- → (baca: himpunan bilangan rasional negatif.)
Q*+ → (baca: himpunan bilangan rasional positif dan bukan nol.)
Q*- → (baca: himpunan bilangan rasional negatif dan bukan nol.)
Perhatikan bahwa semua himpunan ini adalah himpunan bagian dari Q, karena semua elemen termasuk dalam himpunan bilangan rasional. Selain himpunan yang disajikan, kita dapat bekerja dengan beberapa himpunan bagian dalam Q, seperti himpunan yang dibentuk oleh bilangan ganjil, atau sepupu, atau berpasangan, akhirnya, ada beberapa dan beberapa kemungkinan himpunan bagian.
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm