Kemajuan: apa itu, jenis, rumus, contoh

Kami tahu caranya kemajuan kasus tertentu urutan nomor. Ada dua kasus perkembangan:

• deret aritmatika

• deret geometri

Untuk menjadi sebuah deret, kita perlu menganalisis ciri-ciri barisan itu jika ada yang kita sebut alasan. kapan perkembangannya hitung, alasannya tidak lebih dari sebuah konstanta yang kita tambahkan ke istilah untuk menemukan penggantinya dalam urutan; sekarang, ketika bekerja dengan kemajuan geometris, alasan memiliki fungsi yang serupa, hanya dalam kasus ini alasan adalah suku konstan yang dengannya kita mengalikan suku dalam barisan untuk menemukan penggantinya.

Disebabkan oleh perilaku yang dapat diprediksi progresi, ada rumus khusus untuk menemukan istilah apa pun dalam urutan ini, dan juga dimungkinkan untuk mengembangkan a rumus untuk masing-masing (yaitu, satu untuk deret aritmatika dan satu untuk deret geometri) untuk menghitung jumlah Daritidak istilah pertama dari perkembangan ini.

Baca juga: Fungsi – untuk apa dan untuk apa?

Jumlah biji per panen berperilaku seperti deret geometri

urutan nomor

Untuk memahami apa itu progresi, pertama-tama kita perlu memahami apa itu progresi urutan nomor. Seperti namanya, kita tahu urutan nomor a kumpulan angka yang menghormati urutan, didefinisikan dengan baik atau tidak. tidak seperti set numerik di mana urutan tidak penting, dalam urutan numerik, urutan sangat penting, misalnya:

Urutan (1, 2, 3, 4, 5) berbeda dengan (5, 4, 3, 2, 1), yang berbeda dengan urutan (1, 5, 4, 3, 2). Bahkan jika elemennya sama, karena urutannya berbeda, jadi kami memiliki urutan yang berbeda.

Contoh:

Kita dapat menulis barisan yang formasinya mudah dilihat:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → barisan bilangan genap yang kurang dari atau sama dengan 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → barisan regresif bilangan ganjil dari 17 sampai 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → dikenal sebagai Deret Fibonacci.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → meskipun tidak mungkin untuk menggambarkan barisan ini seperti yang lain, mudah untuk memprediksi apa suku berikutnya.

Dalam kasus lain, urutan dapat memiliki keacakan total dalam nilainya, bagaimanapun, untuk menjadi urutan, yang penting adalah memiliki satu set nilai yang dipesan.

ke 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Meskipun tidak mungkin untuk memprediksi siapa istilah berikutnya dalam huruf b, kami masih mengerjakan sekuelnya.

Secara umum, string selalu direpresentasikan dalam tanda kurung ( ), dengan cara berikut:

(Itu₁, Sebuah₂,Itu₃, Sebuah₄,Itu₅, Sebuah₆, Sebuah₇, Sebuah₈ ...) → urutan tak terbatas

(Itu₁, Sebuah₂,Itu₃, Sebuah₄,Itu₅, Sebuah₆, Sebuah₇, Sebuah₈ … Sebuah_tidak) → barisan berhingga

Dalam keduanya, kami memiliki representasi berikut:

Itu₁ → istilah pertama

Itu₂ → istilah kedua

Itu₃ → suku ketiga

.

.

.

Itu_tidak → suku ke-n

Pengamatan: Sangat penting bahwa, ketika mewakili urutan, data diapit dalam tanda kurung. Notasi barisan sering dikacaukan dengan notasi himpunan. Suatu himpunan direpresentasikan dalam kurung kurawal, dan dalam himpunan urutannya tidak penting, yang membuat semua perbedaan dalam kasus ini.

(1, 2, 3, 4, 5) → urutan

{1, 2, 3, 4, 5} → set

Ada kasus urutan tertentu yang dikenal sebagai progresi.

Lihat juga: Apa prinsip dasar menghitung?

Apa itu progresi?

Barisan didefinisikan sebagai suatu deret jika memiliki a keteraturan dari satu istilah ke istilah lainnya, dikenal sebagai akal. Ada dua kasus deret, deret aritmatika dan deret geometri. Untuk mengetahui bagaimana membedakan masing-masing dari mereka, kita perlu memahami apa alasan dari suatu progresi dan bagaimana alasan itu berinteraksi dengan suku-suku barisan.

Ketika, dari satu istilah ke yang lain dalam urutan, saya memiliki a jumlah konstan, barisan ini didefinisikan sebagai suatu progresi, dan dalam hal ini adalah a deret aritmatika. Nilai yang terus kita jumlahkan ini dikenal sebagai rasio. Kasus lain, yaitu, ketika urutannya adalah deret geometri, dari satu suku ke suku lain ada perkalian dengan nilai konstan. Secara analog, nilai ini adalah rasio deret geometri.

Contoh:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 ...) → perhatikan bahwa kita selalu menjumlahkan 3 dari satu suku ke suku lainnya, jadi kita memiliki barisan aritmatika dari rasio yang sama dengan 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → dalam hal ini kita selalu mengalikan 10 dari satu suku ke suku lainnya, berurusan dengan deret geometri rasio 10.

c) (0, 2, 8, 26 ...) → dalam kasus terakhir, hanya ada satu urutan. Untuk menemukan suku berikutnya, kita mengalikan suku dengan 3 dan menambahkan 2. Kasus ini, meskipun ada keteraturan untuk menemukan suku berikutnya, itu hanya barisan, bukan barisan aritmatika atau geometri.

deret aritmatika

Saat kita bekerja dengan barisan bilangan, barisan di mana kita dapat memprediksi suku berikutnya cukup berulang. Agar urutan ini diklasifikasikan sebagai deret aritmatika, perlu ada alasan Sebuah. Dari suku pertama, suku berikutnya adalah dibangun oleh jumlah dari istilah sebelumnya dengan alasan r.

Contoh:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Ini adalah barisan yang dapat diklasifikasikan sebagai barisan aritmatika, karena alasannya r = 3 dan suku pertamanya adalah 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 …)

Barisan ini merupakan barisan aritmatika dengan alasan yang baik. r = -5, dan suku pertamanya adalah 7.

• Syarat PA

Dalam banyak kasus, minat kami adalah menemukan istilah tertentu dalam progresi, tanpa harus menulis seluruh urutannya. Mengetahui nilai suku pertama dan rasionya, adalah mungkin untuk menemukan nilai suku apa pun dalam deret aritmatika. Untuk mencari suku-suku suatu deret aritmatika, kita menggunakan rumus:

Itu_tidak = itu₁+ (n - 1)r

Contoh:

Tentukan suku ke-25 dari sebuah P.A yang rasionya 3 dan suku pertamanya 12.

Data r = 3,₁ = 12. Kami ingin mencari suku ke-25, yaitu n = 25.

Itu_tidak = itu₁+ (n - 1)r

Itu₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

Itu₂₅ = 12 + 24 · 3

Itu₂₅ = 12 + 72

Itu₂₅ = 84

• Istilah umum P.A.

Rumus istilah umum adalah cara menyederhanakan rumus suku AP untuk menemukan istilah perkembangan lebih cepat. Setelah suku pertama dan alasannya diketahui, cukup dengan mensubstitusikan ke dalam rumus suku P.A., untuk menemukan suku umum dari barisan aritmatika, yang hanya bergantung pada nilai dari tidak.

Contoh:

Tentukan suku umum dari P.A. yang memiliki r = 3 dan₁ = 2.

Itu_tidak = 2 + (n -1) r

Itu_tidak = 2 + (n -1) 3

Itu_tidak = 2 + 3n – 3

Itu_tidak = 2n - 1

Ini adalah istilah umum dari P.A., yang berfungsi untuk menemukan istilah apa pun dalam perkembangan ini.

• Jumlah suku PA

ITU jumlah suku PA akan sangat melelahkan jika perlu menemukan masing-masing istilahnya dan menjumlahkannya. Ada rumus untuk menghitung jumlah semua tidak suku pertama suatu deret aritmatika:

Contoh:

Tentukan jumlah semua bilangan ganjil dari 1 sampai 100.

Kita tahu bahwa bilangan ganjil adalah deret aritmatika dari rasio 2: (1, 3, 5, 7…99). Dalam deret ini ada 50 suku, karena, dari 1 sampai 100, setengah dari bilangan itu genap dan setengahnya lagi ganjil.

Oleh karena itu, kita harus:

n = 50

Itu₁ = 1

Itu_tidak = 99

Juga akses: Fungsi tingkat 1 - penggunaan praktis dari perkembangan aritmatika

Perkembangan geometris

Sebuah string juga dapat diklasifikasikan sebagai praketerlaluan geometris (PG). Agar suatu barisan menjadi barisan geometri, perlu ada alasannya, tetapi dalam kasus ini, untuk mencari suku berikutnya dari suku pertama, kita lakukan perkalian rasio dengan suku sebelumnya.

Contoh:

a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → Deret geometri dari rasio 2, dan suku pertamanya adalah 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → Deret geometri dari rasio 10, dan suku pertamanya adalah 20.

• Istilah PG

Dalam deret geometri, kami mewakili alasan surat itu apa. Suku deret geometri dapat dicari dengan rumus:

Itu_tidak = itu₁ · apa^{n - 1}

Contoh:

Tentukan suku ke-10 dari PG, ketahuilah bahwa apa = 2 dan₁ = 5.

Itu_tidak = itu₁ · apa^{n - 1}

Itu₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

Itu₁₀ = 5 · 2⁹

Itu₁₀ = 5 · 512

Itu₁₀ = 2560

• Istilah umum PG

Ketika kita mengetahui suku pertama dan alasannya, adalah mungkin untuk menghasilkan rumus suku umum dari deret geometri yang hanya bergantung pada nilai dari tidak. Untuk melakukan ini, kita hanya perlu mengganti suku pertama dan rasionya, dan kita akan menemukan persamaan yang hanya bergantung pada nilai tidak.

Menggunakan contoh sebelumnya, di mana rasionya adalah 2 dan suku pertamanya adalah 5, suku umum untuk GP ini adalah:

Itu_tidak = itu₁ · apa^{n - 1}

Itu_tidak = 5 · 2^{n - 1}

• Jumlah suku PG

Menambahkan semua persyaratan kemajuan akan banyak pekerjaan. Dalam banyak kasus, menulis seluruh urutan untuk mencapai jumlah ini memakan waktu. Untuk memudahkan perhitungan ini, deret geometri memiliki rumus yang berfungsi untuk menghitung jumlah dari tidak elemen pertama dari PG yang terbatas:

Contoh:

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 ...).

Perhatikan bahwa rasio PG ini sama dengan 2.

Itu₁ = 1

apa = 2

tidak = 10

Baca juga: Fungsi eksponensial - penggunaan praktis dari perkembangan geometris

Latihan terpecahkan

Pertanyaan 1 - Kultur bakteri tertentu sedang diamati selama beberapa hari oleh para ilmuwan. Salah satunya menganalisis pertumbuhan populasi ini, dan dia melihat bahwa, pada hari pertama, ada 100 bakteri; di kedua, 300 bakteri; di ketiga, 900 bakteri, dan seterusnya. Menganalisis urutan ini, kita dapat mengatakan bahwa itu adalah:

A) deret aritmatika rasio 200.

B) deret geometri dengan rasio 200.

C) perkembangan aritmatika dari alasan 3.

D) deret geometri rasio 3.

E) urutan, tetapi bukan perkembangan.

Resolusi

Alternatif D

Menganalisis urutan, kami memiliki istilah:

Perhatikan bahwa 900/300 = 3, serta 300/100 = 3. Oleh karena itu, kami bekerja dengan PG dengan rasio 3, karena kami mengalikan dengan tiga dari suku pertama.

Pertanyaan 2 - (Enem – PPL) Untuk pemula dalam berlari, rencana latihan harian berikut ditetapkan: lari 300 meter pada hari pertama dan meningkat 200 meter per hari dari hari kedua. Untuk menghitung penampilannya, dia akan menggunakan chip, yang dipasang di sepatu ketsnya, untuk mengukur jarak yang ditempuh dalam latihan. Pertimbangkan bahwa chip ini menyimpan, dalam memorinya, maksimum 9,5 km lari/jalan, dan harus ditempatkan di awal pelatihan dan dibuang setelah menghabiskan ruang untuk cadangan data. Jika atlet ini menggunakan chip dari hari pertama latihan, berapa hari berturut-turut chip ini dapat menyimpan jarak tempuh dari rencana latihan harian itu?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Resolusi

Alternatif B

Menganalisis situasi, kita tahu bahwa kita memiliki PA dengan alasan 200 dan akhiran awal sama dengan 300.

Selanjutnya, kita tahu bahwa jumlah S_tidak = 9,5 km = 9500 meter.

Dengan data ini, mari kita cari istilah a_tidak, yang merupakan jumlah kilometer yang tercatat pada hari terakhir penyimpanan.

Perlu juga diingat bahwa istilah apa pun a_tidak dapat ditulis sebagai:

Itu_tidak = itu₁ + (n - 1)r

Mengingat persamaan 200n² + 400n – 19000 = 0, kita dapat membagi semua suku dengan 200, menyederhanakan persamaan dan menemukan: n² + 2n – 95 = 0.

Untuk delta dan Bhaskara, kita harus:

a = 1

b = 2

c = -95

= b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Kita tahu bahwa 8,75 sama dengan 8 hari dan beberapa jam. Dalam hal ini, jumlah hari di mana pengukuran dapat dilakukan adalah 8.

Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm