Hiperbola. definisi hiperbola

Apa itu hiperbola?
Definisi: Misalkan F1 dan F2 adalah dua titik pada bidang dan misalkan 2c adalah jarak antara keduanya, hiperbola adalah himpunan dari titik-titik pada bidang yang perbedaan (dalam modul) jarak ke F1 dan F2 adalah konstanta 2a (0 < 2a < 2c).
Unsur Hiperbola:

F1 dan F2 → adalah fokus hiperbola
→ adalah pusat hiperbola
2c → panjang fokus
2 → pengukuran sumbu nyata atau melintang trans
2b → pengukuran sumbu imajiner
c/a → eksentrisitas
Ada hubungan antara a, b dan c → c² = itu² + b²

Persamaan hiperbola tereduksi
Kasus 1: Hiperbola dengan fokus pada sumbu x.

Jelas bahwa dalam hal ini fokus akan memiliki koordinat F1 (-c, 0) dan F2(c, 0).
Jadi, persamaan tereduksi dari elips dengan pusat di titik asal bidang Cartesian dan fokus pada sumbu x adalah:

Kasus 2: Hiperbola dengan fokus pada sumbu y.

Dalam hal ini, fokus akan memiliki koordinat F1 (0, -c) dan F2(0, c).
Dengan demikian, persamaan tereduksi dari elips dengan pusat di titik asal bidang Cartesian dan fokus pada sumbu y adalah:

Contoh 1. Temukan persamaan tereduksi dari hiperbola dengan sumbu nyata 6, fokus F1(-5, 0) dan F2(5, 0).

Solusi: Kita harus
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) dan F2(5, 0) → c = 5
Dari hubungan yang luar biasa, kita memperoleh:
ç² = itu² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² =25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Dengan demikian, persamaan tereduksi akan diberikan oleh:

Contoh 2. Tentukan persamaan hiperbola tereduksi yang memiliki dua titik fokus dengan koordinat F2 (0, 10) dan sumbu imajiner berukuran 12.
Solusi: Kita harus
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Dengan menggunakan hubungan yang luar biasa, kita memperoleh:
10² = itu² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Dengan demikian, persamaan hiperbola tereduksi akan diberikan oleh:

Contoh 3. Tentukan jarak fokus hiperbola dengan persamaan
Solusi: Karena persamaan hiperbola bertipebola  Kita harus
Itu² = 16 dan b² =9
Dari hubungan yang luar biasa kita peroleh
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Panjang fokus diberikan oleh 2c. Jadi,
2c = 2*5 =10
Jadi jarak fokusnya adalah 10.

Oleh Marcelo Rigonatto
Spesialis dalam Statistik dan Pemodelan Matematika
Tim Sekolah Brasil

Geometri Analitis - matematika - Sekolah Brasil