matriks simetris adalah markas besar dimana setiap elemen \(a_{ij}\) sama dengan elemennya \(a_{ji}\) untuk semua nilai i dan j. Akibatnya, setiap matriks simetris sama dengan transposnya. Perlu juga disebutkan bahwa setiap matriks simetris adalah bujur sangkar dan diagonal utamanya bertindak sebagai sumbu simetri.
Baca juga:Penjumlahan dan pengurangan matriks — bagaimana cara menghitungnya?
Abstrak tentang matriks simetris
Dalam matriks simetris, \(a_{ij}=a_{ji}\) untuk semua i dan j.
Setiap matriks simetris adalah bujur sangkar.
Setiap matriks simetris sama dengan transposnya.
Unsur-unsur matriks simetris adalah simetris terhadap diagonal utamanya.
Sedangkan pada matriks simetris \(a_{ij}=a_{ji}\) untuk semua i dan j; dalam matriks antisimetrik, \(a_{ij}=-a_{ji}\) untuk semua i dan j.
Apa itu matriks simetris?
Matriks simetris adalah matriks persegi di mana \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) untuk setiap i dan setiap j. Ini berarti bahwa \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), dan seterusnya, untuk semua kemungkinan nilai i dan j. Ingatlah bahwa nilai yang mungkin dari i sesuai dengan baris matriks dan nilai yang mungkin dari j sesuai dengan kolom dari matriks.
Contoh Matriks Simetris
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Contoh matriks non-simetris (pertimbangkan \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Penting: Mengatakan bahwa suatu matriks tidak simetris berarti menunjukkannya \(a_{ij}≠a_{ji}\) setidaknya untuk beberapa i dan j (yang dapat kita lihat dengan membandingkan contoh sebelumnya). Ini berbeda dengan konsep matriks antisimetrik yang akan kita lihat nanti.
Apa sifat-sifat matriks simetris?
Setiap matriks simetris adalah bujur sangkar
Perhatikan bahwa definisi matriks simetris didasarkan pada matriks persegi. Jadi, setiap matriks simetri memiliki jumlah baris yang sama dengan jumlah kolomnya.
Setiap matriks simetris sama dengan transposnya
Jika A adalah sebuah matriks, maka dialihkan (\(A^T\)) didefinisikan sebagai matriks yang barisnya adalah kolom dari A dan kolomnya adalah baris dari A. Jadi, jika A adalah matriks simetris, kita punya \(A=A^T\).
Dalam matriks simetris, elemen-elemennya “dipantulkan” terhadap diagonal utamanya
Sebagai \(a_{ij}=a_{ji}\) dalam matriks simetris, elemen-elemen di atas diagonal utama merupakan “refleksi” dari elemen-elemen di bawahnya diagonal (atau sebaliknya) dalam kaitannya dengan diagonal, sehingga diagonal utama bertindak sebagai sumbu dari simetri.
Apa perbedaan antara matriks simetris dan matriks antisimetris?
Jika A adalah matriks simetris, maka \(a_{ij}=a_{ji}\) untuk semua i dan semua j, seperti yang kita pelajari. Dalam kasus matriks antisimetrik, situasinya berbeda. Jika B adalah matriks antisimetrik, maka \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) untuk setiap i dan setiap j.
Perhatikan bahwa ini menghasilkan \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), itu adalah, elemen diagonal utama adalah nol. Konsekuensi dari hal ini adalah transpos matriks antisimetrik sama dengan kebalikannya, yaitu jika B adalah matriks antisimetrik, maka \(B^T=-B\).
Contoh matriks antisimetrik
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Lihat juga: Matriks identitas — matriks yang elemen diagonal utamanya sama dengan 1 dan elemen lainnya sama dengan 0
Soal latihan matriks simetris
pertanyaan 1
(Unicentro)
jika matriks \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) simetris, sehingga nilai xy adalah:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Resolusi:
Alternatif A
Jika matriks yang diberikan simetris, maka elemen-elemen dalam posisi simetris adalah sama (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Oleh karena itu, kita harus:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Mengganti yang pertama persamaan yang kedua, kami menyimpulkan bahwa \(y=3\), segera:
\(x=2\) Dia \(xy=6\)
pertanyaan 2
(UFSM) Mengetahui bahwa matriks \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) sama dengan transposnya, nilai dari \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Resolusi:
Alternatif C
Karena matriks yang diberikan sama dengan transposnya, maka itu adalah matriks simetris. Dengan demikian, elemen dalam posisi simetris adalah sama (\(a_{ij}=a_{ji}\)), yaitu:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Dengan persamaan pertama, x=-6 atau x=6. Dengan persamaan ketiga, kami mendapatkan jawaban yang benar: x= -6. Dengan persamaan kedua, y=11.
Segera:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Oleh Maria Luiza Alves Rizzo
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm