A proporsi keemasan atau proporsi ilahi adalah kesetaraan yang terkait dengan gagasan harmoni, keindahan, dan kesempurnaan. Euclid dari Alexandria, matematikawan Yunani yang hidup sekitar 300 SM. C., adalah salah satu pemikir pertama yang memformalkan konsep ini yang hingga saat ini membuat penasaran para peneliti dari berbagai bidang.
Alasan ketertarikan ini adalah bahwa rasio emas dapat diamati dengan cara perkiraan di alam, termasuk pada biji dan daun tumbuhan dan pada tubuh manusia. Akibatnya, rasio emas menjadi subjek studi oleh para profesional yang berbeda, seperti ahli biologi, arsitek, seniman, dan desainer.
Baca juga: Number pi — salah satu konstanta terpenting dalam matematika
Ringkasan tentang rasio emas
Rasio emas adalah rasio untuk \(a>b>0\) seperti yang
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Dengan kondisi tersebut, alasannya ItuB disebut rasio emas.
Rasio emas terkait dengan konsep keseimbangan, kemurnian, dan kesempurnaan.
Huruf Yunani ϕ (baca: fi) melambangkan bilangan emas, yaitu konstanta yang diperoleh dari rasio emas.
Dalam deret Fibonacci, hasil bagi antara setiap suku dan pendahulunya mendekati angka emas.
Persegi panjang emas adalah persegi panjang yang sisi-sisinya berada dalam rasio emas.
Apa itu rasio emas?
Pertimbangkan segmen garis yang dibagi menjadi dua bagian: ukuran yang lebih besar Itu dan terkecil B. menyadari bahwa a+b adalah ukuran dari seluruh segmen.
rasio emas adalah kesetaraan di antara alasannya\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Dia \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), yaitu
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Dalam konteks ini, kami mengatakan itu Itu Dia B berada dalam rasio emas.
Tapi untuk nilai apa Itu Dia B apakah kita memiliki rasio emas? Itu yang akan kita lihat selanjutnya.
Bagaimana cara menghitung angka emas?
Alasannya \(\frac{a}b\)(atau, demikian pula, Alasannya \(\frac{a+b}a\)) menghasilkan konstanta yang disebut bilangan emas dan diwakili oleh huruf Yunani ϕ. Jadi, sudah biasa menulis
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Untuk menghitung angka emas, pertimbangkan rasio emas untuk b = 1. Dengan demikian, kita dapat dengan mudah menemukan nilai dari Itu dan dapatkan ϕ dari persamaan \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Perhatikan bahwa kita dapat menulis rasio emas sebagai berikut, menggunakan properti perkalian silang:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Mengganti b = 1, kita punya
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Menerapkan rumus Bhaskara untuk persamaan kuadrat ini, kami menyimpulkan bahwa solusi positif dari Itu é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Sebagai Itu adalah ukuran segmen, kita akan mengabaikan solusi negatifnya.
jadi bagaimana \(\frac{a}b=ϕ\), Nilai pasti dari angka emas adalah:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Menghitung hasil bagi, kita dapatkan Nilai perkiraan angka emas:
\(ϕ≈1,618033989\)
Lihat juga: Bagaimana cara menyelesaikan operasi matematika dengan pecahan?
Rasio Emas dan Urutan Fibonacci
A Urutan Fibonacci adalah daftar angka di mana setiap suku, dimulai dari suku ketiga, sama dengan jumlah kedua suku sebelumnya. Mari kita lihat sepuluh suku pertama dari barisan ini:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Saat kita menghitung hasil bagi antara setiap istilah dan pendahulunya dalam deret Fibonacci, kita mendekati angka emas ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Rasio emas dan persegi panjang emas
Satu persegi panjang mana sisi terpanjang Itu dan sisi yang lebih kecil B berada dalam rasio emas itu disebut persegi panjang emas. Contoh persegi panjang emas adalah persegi panjang yang sisi-sisinya berukuran 1 cm dan \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Tahu lebih banyak: Apa itu besaran berbanding lurus?
Aplikasi Rasio Emas
Perhatikan bahwa, sampai sekarang, kita telah mempelajari rasio emas hanya dalam konteks matematika abstrak. Selanjutnya, kita akan melihat beberapa contoh terapan, tetapi diperlukan kehati-hatian: rasio emas tidak disajikan secara tepat dalam kasus-kasus ini. Apa yang ada adalah analisis konteks yang berbeda di mana nomor emas muncul begituperkiraan.
Rasio Emas dalam Arsitektur
Beberapa penelitian mengklaim bahwa perkiraan jumlah emas diamati dalam rasio tertentu dari dimensi Piramida Cheops, di Mesir, dan gedung markas PBB, di New York.
Rasio emas dalam tubuh manusia
Ukuran tubuh manusia bervariasi dari satu orang ke orang lain, dan tidak ada tipe tubuh yang sempurna. Namun, setidaknya sejak Yunani Kuno, telah terjadi perdebatan tentang benda ideal secara matematis (dan sama sekali tidak dapat dicapai dalam kenyataan), dengan pengukuran yang terkait dengan rasio emas. Dalam konteks teoretis ini, misalnya, rasio tinggi seseorang dengan jarak antara pusar mereka dan tanah akan menjadi angka emas.
rasio emas dalam seni
Ada penelitian tentang karya "The Vitruvian Man" dan "Mona Lisa", oleh Leonardo da Vinci Italia, yang menyarankan penggunaan persegi panjang emas.
Rasio emas di alam
Ada penelitian yang menunjukkan a hubungan antara rasio emas dan cara distribusi daun tanaman tertentu pada sebuah batang. Susunan daun ini disebut phyllotaxy.
Rasio Emas dalam Desain
Rasio emas juga dipelajari dan digunakan di bidang Desain sebagai a alat komposisi proyek.
Latihan soal rasio emas
pertanyaan 1
(Enem) Ruas garis dibagi menjadi dua bagian dalam rasio emas ketika keseluruhannya terhadap salah satu bagian dalam rasio yang sama dengan bagian ini terhadap yang lain. Konstanta proporsionalitas ini umumnya diwakili oleh huruf Yunani ϕ, dan nilainya diberikan oleh solusi positif dari persamaan ϕ2 = ϕ+1.
Sama seperti kekuatan \(ϕ^2\), pangkat ϕ yang lebih tinggi dapat dinyatakan dalam bentuk \(aϕ+b\), di mana a dan b adalah bilangan bulat positif, seperti yang ditunjukkan pada tabel.
potensi \(ϕ^7\), ditulis dalam bentuk aϕ+b (a dan b adalah bilangan bulat positif), adalah
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Resolusi
Sebagai \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Kita harus
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Menerapkan distributif,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Sebagai \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternatif.
pertanyaan 2
Nilai setiap pernyataan di bawah ini tentang angka emas sebagai T (Benar) atau F (Salah).
Saya. Angka emas ϕ tidak rasional.
II. Hasil bagi antara setiap suku dan pendahulunya dalam deret Fibonacci mendekati nilai ϕ.
AKU AKU AKU. 1,618 adalah pembulatan ke tiga tempat desimal dari angka emas ϕ.
Urutan yang benar, dari atas ke bawah, adalah
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Resolusi
Saya. BENAR.
II. BENAR.
AKU AKU AKU. BENAR.
Alternatif A.
Sumber
FRANCISCO, S.V. dari L. Antara daya tarik dan realitas rasio emas. Disertasi (Gelar Magister Profesional Matematika di Jaringan Nasional) – Institut Biosains, Sastra dan Ilmu Eksakta, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Sao Paulo, 2017. Tersedia di: http://hdl.handle.net/11449/148903.
PENJUALAN, J. dari S. Rasio emas hadir di alam. Penyelesaian kursus (Gelar Matematika), Institut Pendidikan Federal, Sains dan Teknologi Piauí. Piaui, 2022. Tersedia di http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Oleh Maria Luiza Alves Rizzo
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
