sekumpulan dari bilangan prima adalah objek studi di matematika dari Yunani Kuno. Euclides, dalam karya besarnya "Elemen", sudah membahas subjek, berhasil menunjukkan bahwa ini mengatur adalah tak terbatas. Seperti yang kita ketahui, bilangan prima adalah bilangan yang memiliki bilangan 1 sebagai pembagi dan bilangan itu sendiri, dengan demikian, menemukan bilangan prima yang sangat besar bukanlah tugas yang mudah, dan saringan Eratosthenes membuatnya mudah. pertemuan.
Bagaimana cara mengetahui bilangan prima?
Kita tahu bahwa bilangan prima adalahsiapa pun yang memiliki sebagai pembagi nomor 1 dan dirinya sendiri, jadi bilangan yang, dalam daftar pembaginya, memiliki bilangan selain 1 dan bilangan itu sendiri bukan bilangan prima, lihat:
Dengan mendaftar pembagi 11 dan 30, kami memiliki:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Perhatikan bahwa angka 11 hanya memiliki angka 1 dan dirinya sendiri sebagai pembagi, jadi bilangan 11 adalah bilangan prima. Sekarang, lihat pembagi dari angka 30, selain angka 1 dan dirinya sendiri, angka 2, 3, 5, 6 dan 10 memiliki pembagi. Karena itu,
bilangan 30 bukan bilangan prima.→ Contoh: Sebutkan bilangan prima yang kurang dari 15.
Untuk ini, kami akan membuat daftar pembagi semua angka antara 2 dan 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Jadi, bilangan prima yang lebih kecil dari 15 adalah:
2, 3, 5, 7, 11 dan 13
Mari kita hadapi itu, tugas ini tidak akan terlalu menyenangkan, misalnya, jika kita menulis semua bilangan prima antara 2 dan 100. Untuk menghindarinya, kita akan belajar menggunakan, dalam topik berikutnya, saringan Eratosthenes.
Saringan Eratosthenes
Saringan Eratosthenes adalah alat yang bertujuan untuk memudahkan penentuan bilangan prima. Saringan terdiri dari empat langkah, dan untuk memahaminya perlu diingat: kriteria dapat dibagi. Sebelum memulai langkah demi langkah, kita harus membuat tabel dari angka 2 ke angka yang diinginkan, karena angka 1 bukan bilangan prima. Kemudian:
→ Langkah 1: Dari kriteria pembagian dengan 2, kita mendapatkan bahwa semua bilangan genap habis dibagi olehnya, yaitu: angka 2 akan muncul dalam daftar pembagi, jadi angka-angka ini tidak akan menjadi prima dan kita harus mengecualikannya dari meja. Apakah mereka:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Langkah 2: Dari kriteria habis dibagi 3, kita mengetahui bahwa suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah dari angka itu juga. Jadi, kita harus mengecualikan angka-angka ini dari tabel, karena mereka bukan bilangan prima karena ada angka selain 1 dan dirinya sendiri dalam daftar pembagi. Jadi, kita harus mengecualikan angka:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Langkah 3: Dari kriteria habis dibagi 5, kita tahu bahwa semua angka yang berakhiran 0 atau 5 habis dibagi 5, jadi kita harus mengecualikannya dari tabel.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Langkah 4: Demikian pula, kita harus mengecualikan angka yang merupakan kelipatan 7 dari tabel.
14, 21, 28, …, 546, …
– Mengetahui saringan Eratosthenes, mari kita tentukan bilangan prima antara 2 dan 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ bukan sepupu
→ bilangan prima
Jadi bilangan prima antara 2 dan 100 adalah:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Baca juga: Perhitungan MMC dan MDC: bagaimana melakukannya?
Dekomposisi faktor prima
NS dekomposisi faktor prima secara resmi dikenal sebagai teorema dasar aritmatika. Teorema ini menyatakan bahwa setiap bilangan bulat berbeda dari 0 dan lebih besar dari 1 dapat diwakili oleh produk bilangan prima. Untuk menentukan bentuk faktor dari suatu bilangan bulat, kita harus melakukan pembagian berturut-turut sampai kita mencapai hasil yang sama dengan 1. Lihat contohnya:
→ Tentukan bentuk faktor dari bilangan 8, 20 dan 350.
Untuk memfaktorkan angka 8, kita harus membaginya dengan kemungkinan bilangan prima pertama, dalam hal ini dengan 2. Kemudian, kita melakukan pembagian lain juga dengan bilangan prima yang mungkin, proses ini diulangi sampai kita mencapai angka 1 sebagai jawaban dari pembagian tersebut. Lihat:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Jadi, bentuk faktor dari bilangan 8 adalah 2 · 2 · 2 = 23. Untuk memfasilitasi proses ini, kami akan mengadopsi metode berikut:
Oleh karena itu, angka 8 dapat ditulis sebagai: 23.
→ Untuk memfaktorkan bilangan 20, kita akan menggunakan cara yang sama, yaitu membaginya dengan bilangan prima.
Jadi, bilangan 20 dalam bentuk faktornya adalah: 2 · 2 · 5 atau 22 · 5.
→ Demikian pula yang akan kita lakukan dengan angka 350.
Jadi, bilangan 350 dalam bentuk faktornya adalah: 2 · 5 · 5 · 7 atau 2 · 52 · 7.
Lihat juga: Notasi ilmiah: untuk apa?
latihan yang diselesaikan
pertanyaan 1 – Sederhanakan ekspresi:
Larutan
Pertama, mari kita faktorkan ekspresinya untuk membuatnya lebih mudah.
Jadi, 1024 = 210, dan oleh karena itu kita dapat mengganti satu dengan yang lain dalam ekspresi latihan. Dengan demikian:
oleh Robson Luis
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm