binomial Newton adalah binomial apa pun yang dipangkatkan ke angka tidak tentang apa tidak itu bilangan asli. Berkat studi fisikawan Isaac Newton tentang kekuatan binomial, itu mungkin periksa keteraturan yang memfasilitasi representasi polinomial dihasilkan dari kekuatan binomial.
Mengamati keteraturan ini, itu juga menjadi mungkin temukan hanya satu dari istilah polinomial, tanpa harus menghitung semuanya, menggunakan rumus suku umum binomial. Selain itu, Newton memperhatikan hubungan antara analisis kombinatoriala dan binomial Newton, apa yang membuat segitiga pascal alat yang hebat untuk pengembangan binomial Newton yang lebih praktis.
Baca juga: Perangkat Briot-Ruffini - metode untuk membagi polinomial
Definisi binomial Newton
Kami mendefinisikan sebagai binomialpolinomial yang memiliki dua suku. Dalam beberapa aplikasi di Matematika dan Fisika, perlu untuk menghitung kekuatan binomial. Untuk memudahkan prosesnya, Isaac Newton memperhatikan keteraturan penting yang memungkinkan kita untuk menemukan polinomial yang dihasilkan dari pangkat binomial.
Untuk beberapa kasus, perhitungannya cukup sederhana: lakukan saja perkalian binomial dengan sendirinya menggunakan sifat distributif. Hingga potensi urutan 3, kami mengembangkan tanpa banyak usaha, karena mereka adalah yang terkenal produk terkenal, tetapi untuk pangkat yang lebih tinggi, hitung dari perkalian suku itu sendiri tidak terkadang banyak pekerjaan.
Contoh
Ingatlah bahwa setiap angka yang dinaikkan menjadi nol sama dengan 1 dan setiap angka yang dinaikkan menjadi 1 adalah dirinya sendiri, yang juga berlaku untuk binomial.
Newton memperhatikan hubungan antara koefisien dari masing-masing istilah dan kombinasi, yang memungkinkan penghitungan pangkat binomial lebih langsung dari rumus berikut:
Memahami rumus:
Pertama mari kita lihat bagian literal dari setiap istilah, yaitu huruf dengan eksponennya. Perhatikan bahwa, untuk setiap suku, pangkat dari “a” berkurang, mulai dari n, lalu ke n – 1, dan seterusnya sampai 1 di suku kedua dari belakang dan 0 di suku terakhir (yang membuat huruf “a” tidak muncul di suku terakhir).
mengidentifikasi Itu dan eksponennya:
Sekarang mari kita menganalisis eksponen dari "b", yang selalu meningkat, dimulai dengan 0 pada suku pertama ( yang membuat huruf b tidak muncul pada suku pertama), 1 pada suku kedua, dan seterusnya hingga sama Itu tidakdalam istilah terakhir.
mengidentifikasi B dan eksponennya:
Memahami bagian literal, mari menganalisis koefisien, yang merupakan kombinasi dari tidak elemen diambil dari 0 ke 0, 1 ke 1, 2 ke 2, dan seterusnya sampai suku terakhir, yang merupakan kombinasi dari tidak elemen diambil dari tidak di tidak.
Perlu dicatat bahwa penting untuk menguasai perhitungan calculation kombinasi untuk dapat menemukan koefisien. Ingat, untuk menghitung kombinasi, kita harus:
Respon kombinasi selalu a bilangan asli.
Lihat juga: Pembagian polinomial: bagaimana menyelesaikannya?
Contoh: Hitung binomial Newton (a+b) pangkat keempat.
langkah pertama: tulis polinomial menggunakan rumus.
langkah ke-2: menghitung kombinasi.
Dengan mengganti kombinasi, polinomial yang ditemukan akan menjadi:
Anda dapat melihat bahwa menyelesaikan kasus seperti ini masih sulit, tergantung pada eksponennya, tetapi meskipun demikian lebih cepat daripada menghitung menggunakan sifat distributif. Alat yang dapat membantu perhitungan ini adalah segitiga Pascal.
segitiga pascal
Segitiga Pascal dikembangkan oleh Blaise Pascal selama studi kombinasi. Dia adalah cara yang membuat penghitungan kombinasi lebih mudah. Menggunakan segitiga Pascal akan mempermudah dan mempercepat pencarian koefisien bagian literal binomial Newton tanpa harus menghitung semua kombinasinya.
Untuk membangun segitiga Pascal secara langsung, mari kita ingat dua situasi di mana perhitungan kombinasi sama dengan 1.
Jadi, suku pertama dan terakhir dari semua garis selalu sama dengan 1. Suku-suku pusat dibangun dari penjumlahan suku-suku di atasnya ditambah dengan tetangganya dari kolom sebelumnya, seperti pada representasi di bawah ini:
Untuk membangun baris berikutnya, ingatlah bahwa suku pertama adalah 1 dan yang terakhir juga. Maka cukup melakukan penjumlahan untuk menemukan suku-suku sentralnya.
Juga akses: Teorema Dekomposisi Polinomial
Contoh: Hitung (a+b) hingga pangkat enam.
langkah pertama: menerapkan rumus binomial.
langkah ke-2: bangun segitiga Pascal hingga baris ke-6.
langkah ke-3: ganti kombinasi dengan nilai pada baris 6, yang merupakan koefisien dari masing-masing suku binomial.
Yang menentukan jumlah garis yang akan kita bangun dari binomial adalah nilai n. Penting untuk diingat bahwa baris pertama adalah nol.
Istilah umum binomial Newton
Istilah umum binomial Newton adalah rumus yang memungkinkan kita menghitung suku binomial tanpa harus mengembangkan seluruh polinomial, yaitu, kita dapat mengidentifikasi salah satu istilah dari pertama hingga terakhir. Dengan rumus, kita langsung menghitung istilah yang kita cari.
Itu: istilah pertama
B: istilah kedua
n: eksponen
p+1: istilah pencarian
Contoh: Tentukan suku ke-11 dari binomial (a + b)12.
Resolusi:
Lihat juga: Demonstrasi melalui kalkulus aljabar
Latihan terpecahkan
Pertanyaan 1 - (Cesgranrio) Koefisien dari x4 dalam polinomial P(x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Resolusi
Kami ingin menemukan istilah tertentu dalam memecahkan binomial; untuk itu, kita perlu mencari nilai p.
Kita tahu bahwa suku pertama dalam kasus ini sama dengan x, jadi n – p = 4, karena n = 6, kita memiliki:
Oleh karena itu, koefisiennya adalah 60 (alternatif B).
Pertanyaan 2 - (Unifor) Jika suku pusat dari pengembangan binomial (4x + ky)10 untuk 8064x5kamu5, maka alternatif yang sesuai dengan nilai k adalah:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Resolusi: Kita tahu bahwa suku pusat memiliki koefisien yang sama (p= 5). Mari kita cari suku ke-6, karena p+1=6. Selanjutnya, kita memiliki bahwa a = 4x; b = ky dan n = 10, jadi:
Alternatif D
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm