Kajian tentang set numerik merupakan salah satu bidang utama matematika, karena sangat penting untuk pengembangan teoritis bidang tersebut dan memiliki beberapa aplikasi praktis. Himpunan numerik terdiri dalam mempelajari:
- bilangan asli;
- bilangan bulat;
- angka rasional;
- bilangan irasional;
- bilangan asli; dan
- bilangan kompleks.
Baca selengkapnya: Bilangan prima - bilangan yang hanya memiliki 1 dan dirinya sendiri sebagai pembagi
Himpunan bilangan asli
Perkembangan peradaban pertama membawa serta peningkatan pertanian dan perdagangan dan, akibatnya, menggunakan angka untuk mewakili besaran. Set pertama datang secara alami, maka namanya. Himpunan nama alami digunakan untuk menyatakan besaran, dilambangkan dengan simbol dan ditulis dalam bentuk urutan. Lihat:
HAI himpunan bilangan naturaaku s é tak terbatas dan tertutup untuk operasi tambahan dan perkalian, yaitu, setiap kali kita menambahkan atau mengalikan dua bilangan asli, jawabannya tetap alami. Namun, untuk operasi pengurangan dan divisi, himpunan tidak ditutup. Lihat:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Perhatikan bahwa angka –1 dan 0,5 mereka bukan milik himpunan alami, dan ini adalah pembenaran untuk penciptaan dan studi himpunan angka baru.
Juga, menempatkan tanda bintang (*) pada simbol himpunan alami, kita harus menghapus angka nol dari daftar, lihat:
himpunan bilangan bulat
Seluruh rangkaian angka muncul dengan perlu melakukan operasi pengurangan tidak ada batasan. Seperti yang telah kita lihat, ketika bilangan yang lebih kecil dikurangi dengan bilangan yang lebih besar, jawabannya tidak termasuk dalam kelompok natural.
Himpunan bilangan bulat juga diwakili oleh urutan numerik tak terbatas dan dilambangkan dengan simbol.
Seperti pada himpunan bilangan asli, dengan menempatkan tanda bintang pada simbol, elemen nol dihilangkan dari himpunan, seperti ini:
Simbol (–) yang menyertai suatu bilangan menunjukkan bahwa bilangan tersebut simetris, sehingga simetris bilangan 4 adalah bilangan -4. Perhatikan juga bahwa himpunan bilangan asli terkandung dalam himpunan bilangan bulat, yaitu himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat.
ℕ ⸦ ℤ
Baca juga: Operasi dengan bilangan bulat – apa itu dan bagaimana cara menghitungnya?
himpunan bilangan rasional
HAI himpunan bilangan rasional é diwakili oleh simbol dan tidak diwakili oleh urutan numerik. Himpunan ini terdiri dari semua angka yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Kami mewakili elemen-elemennya sebagai berikut:
Kita tahu bahwa setiap bilangan bulat dapat diwakili oleh pecahan, yaitu, himpunan bilangan bulat terkandung dalam bilangan rasional, oleh karena itu, himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian dari rasional.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Bilangan yang memiliki representasi tak hingga, seperti persepuluhan berkala, juga memiliki representasi dalam bentuk pecahan, dengan demikian, mereka juga rasional.
Baca juga: Operasi dengan pecahan - langkah demi langkah bagaimana menyelesaikannya
Himpunan bilangan irasional
Seperti yang telah kita lihat, bilangan rasional jika dapat ditulis sebagai pecahan. Juga dikatakan bahwa bilangan tak hingga dan periodik adalah rasional, namun ada beberapa bilangan yang tidak dapat ditulis dalam bentuk pecahan dan yang, oleh karena itu, tidak termasuk dalam himpunan bilangan rasional.
Bilangan nonrasional ini disebut irasional dan memiliki karakteristik utama sebagai tak terhingga bagian desimal dan non-frekuensi, yaitu, tidak ada angka dalam bagian desimal yang berulang. Lihat beberapa contoh dari bilangan irasional.
- Contoh 1
Akar kuadrat dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna.
- Contoh 2
Konstanta yang berasal dari alasan khusus seperti angka emas, angka Euler atau Pi.
Himpunan bilangan real
HAI himpunan bilangan real diwakili oleh simbol dan dibentuk oleh kesatuanhimpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irasional. Ingatlah bahwa himpunan rasional adalah gabungan dari himpunan natural dan integer.
Ketika kita mengatur bilangan real pada sebuah garis, kita memiliki bahwa angka nol adalah asal dari garis, di sebelah kanan nol akan menjadi angka positif, dan di sebelah kiri, angka negatif.
Karena sumbu ini nyata, kita dapat mengatakan bahwa di antara dua bilangan ada bilangan tak hingga dan juga bahwa sumbu ini tak terbatas baik di arah positif ketika masuk arah negatif.
Himpunan bilangan kompleks
HAI himpunan bilangan kompleks ini adalah terakhir dan itu muncul untuk alasan yang sama dengan himpunan bilangan bulat, yaitu, itu adalah operasi yang pengembangannya hanya dengan himpunan real tidak mungkin.
Selesaikan persamaan berikut, lihat bahwa persamaan tersebut tidak memiliki solusi, hanya mengetahui bilangan real.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Perhatikan bahwa kita harus menemukan nomor yang ketika mengangkatdHAI kuadrat, menghasilkan bilangan negatif. Kami tahu itu setiap bilangan kuadrat selalu positif, oleh karena itu, perhitungan ini tidak memiliki solusi nyata.
Jadi diciptakan bilangan kompleks, di mana kita memiliki a bilangan imajiner dilambangkan dengan saya, yang memiliki nilai sebagai berikut:
Jadi, sadarilah bahwa persamaan yang sebelumnya tidak memiliki solusi sekarang memilikinya. Periksa:
Baca selengkapnya: Sifat-sifat yang melibatkan bilangan kompleks
interval sebenarnya
Dalam beberapa kasus, kami tidak akan menggunakan setiap sumbu nyata, yaitu, kami akan menggunakan bagian yang akan disebut istirahat. Interval ini adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Selanjutnya, kita akan membuat beberapa notasi untuk himpunan bagian ini.
Rentang tertutup - tanpa menyertakan ekstrem
Suatu interval tertutup jika memiliki dua ekstremnya, yaitu, minimum dan maksimum, dan, dalam hal ini, ekstrem tidak termasuk dalam kisaran. Kami akan menunjukkan ini menggunakan bola terbuka. Lihat:
Yang berwarna merah adalah angka-angka yang termasuk dalam kisaran ini, yaitu angka-angka lebih besar dari a dan lebih kecil dari b. Secara aljabar kita menulis interval seperti berikut:
< x
Dimana bilangan x adalah semua bilangan real yang berada pada range tersebut. Kita juga bisa merepresentasikannya secara simbolis. Lihat:
]Itu; B[ atau (Itu; B)
Rentang tertutup - termasuk ekstrem
Sekarang mari kita gunakan bola tertutup untuk mewakili itu ekstrem termasuk dalam jangkauan.
Jadi kami mengumpulkan bilangan real antara a dan b, termasuk mereka. Secara aljabar kami menyatakan interval seperti itu dengan:
≤ tersebut xb
Dengan menggunakan notasi simbolik, kita mendapatkan:
[Itu; B]
Rentang tertutup - termasuk salah satu ekstrem
Masih berurusan dengan interval tertutup, kita sekarang memiliki kasus di mana hanya satu dari ekstrem yang disertakan. Oleh karena itu, salah satu kelereng akan menutup, menunjukkan bahwa nomor tersebut termasuk dalam kisaran, dan yang lainnya tidak, menunjukkan bahwa nomor tersebut tidak termasuk dalam kisaran tersebut.
Secara aljabar kami mewakili rentang ini sebagai berikut:
≤ tersebut x
Secara simbolis kita memiliki:
[Itu; B[ atau [Itu; B)
Rentang terbuka - tidak termasuk akhir
Rentang dibuka ketika tidak memiliki elemen maksimum atau minimum. Sekarang kita akan melihat kasus rentang terbuka yang hanya memiliki elemen maksimum, yang tidak termasuk dalam rentang.
Lihat bahwa jangkauannya terdiri dari bilangan real kurang dariB, dan juga perhatikan bahwa angka b tidak termasuk dalam rentang (bola terbuka), jadi, secara aljabar, kita dapat menyatakan interval dengan:
x
Secara simbolis kita dapat merepresentasikannya dengan:
] – ∞; B[ atau (– ∞; B)
Rentang terbuka - termasuk yang ekstrem
Contoh lain dari rentang terbuka adalah kasus di mana ekstrem disertakan. Di sini kita memiliki rentang di mana elemen minimum muncul, lihat:
Perhatikan bahwa semua bilangan real lebih besar dari atau sama dengan bilangan a, jadi kita dapat menulis kisaran ini secara aljabar dengan:
xuntuk
Secara simbolis kita memiliki:
[Itu; +∞[ atau [Itu; +∞)
jangkauan terbuka
Kasus lain dari rentang terbuka dibentuk oleh bilangan yang lebih besar dan lebih kecil dari bilangan yang tetap pada garis nyata. Lihat:
Perhatikan bahwa bilangan real yang termasuk dalam rentang ini adalah bilangan yang kurang dari atau sama dengan bilangan a, atau bilangan yang lebih besar dari bilangan b, jadi kita harus:
x untuk ataux > b
Secara simbolis kita memiliki:
] – ∞; a] U ] b; + ∞[
atau
(– ∞; a] U(b; + ∞)
oleh Robson Luis
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm