Dalam studi bilangan kompleks kita menemukan persamaan berikut: i2 = – 1.
Pembenaran untuk kesetaraan ini biasanya dikaitkan dengan penyelesaian persamaan derajat 2 dengan akar kuadrat negatif, yang merupakan kesalahan. Asal usul ekspresi i2 = – 1 muncul dalam definisi bilangan kompleks, masalah lain yang juga menimbulkan banyak keraguan. Mari kita memahami alasan kesetaraan tersebut dan bagaimana hal itu muncul.
Pertama, mari kita buat beberapa definisi.
1. Pasangan terurut dari bilangan real (x, y) disebut bilangan kompleks.
2. Bilangan kompleks (x1kamu1) dan (x2kamu2) sama jika dan hanya jika x1 = x2 dan kamu1 = y2.
3. Penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks ditentukan oleh:
(x1kamu1) + (x2kamu2) = (x1 + x2kamu1 + kamu2)
(x1kamu1)*(x2kamu2) = (x1*x2 - kamu1*y2, x1*y2 + kamu1*x2)
Contoh 1. Pertimbangkan z1 = (3, 4) dan z2 = (2, 5), hitung z1 + z2 dan z1*z2.
Larutan:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Menggunakan definisi ketiga mudah untuk menunjukkan bahwa:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(x1, 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)
Persamaan ini menunjukkan bahwa sehubungan dengan operasi penjumlahan dan perkalian, bilangan kompleks (x, y) berperilaku seperti bilangan real. Dalam konteks ini, kita dapat membangun hubungan berikut: (x, 0) = x.
Menggunakan hubungan ini dan simbol i untuk menyatakan bilangan kompleks (0, 1), kita dapat menulis bilangan kompleks (x, y) sebagai berikut:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → yang merupakan bentuk pemanggilan normal dari bilangan kompleks.
Jadi, bilangan kompleks (3, 4) dalam bentuk normal menjadi 3 + 4i.
Contoh 2. Tulislah bilangan kompleks berikut dalam bentuk normal.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Sekarang perhatikan bahwa kita menyebut i bilangan kompleks (0, 1). Mari kita lihat apa yang terjadi saat membuat i2.
Kita tahu bahwa i = (0, 1) dan i2 = i*i. Ikuti itu:
saya2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Menggunakan definisi 3, kita akan memiliki:
saya2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Seperti yang kita lihat sebelumnya, setiap bilangan kompleks dari bentuk (x, 0) = x. Jadi,
saya2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
Kami tiba di kesetaraan yang terkenal i2 = – 1.
Oleh Marcelo Rigonatto
Spesialis dalam Statistik dan Pemodelan Matematika
Tim Sekolah Brasil
Bilangan kompleks - matematika - Sekolah Brasil
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm