Teorema D'Alembert

Teorema D'Alembert adalah konsekuensi langsung dari teorema sisa, yang berkaitan dengan pembagian polinomial dengan binomial tipe x – a. Teorema sisa mengatakan bahwa polinomial G(x) dibagi dengan binomial x – a akan memiliki sisa R sama dengan P(a), untuk
x = a. Matematikawan Prancis D'Alembert membuktikan, dengan mempertimbangkan teorema yang dikutip di atas, bahwa polinomial setiap Q(x) akan habis dibagi x – a, yaitu, sisa pembagian akan sama dengan nol (R = 0) jika P(a) = 0.
Teorema ini memudahkan untuk menghitung pembagian polinomial dengan binomial (x –a), sehingga tidak perlu menyelesaikan seluruh pembagian untuk mengetahui apakah sisanya sama dengan atau berbeda dari nol.
Contoh 1
Hitung sisa pembagian (x² + 3x – 10): (x – 3).
Seperti yang dikatakan Teorema D'Alembert, sisa (R) dari pembagian ini akan sama dengan:
P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Jadi sisa pembagian ini akan menjadi 8.
Contoh 2
Periksa apakah x⁵ – 2x⁴ + x³ + x – 2 habis dibagi x – 1.
Menurut D'Alembert, polinomial habis dibagi binomial jika P(a) = 0.

P(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P(1) = 3 - 4
P(1) = – 1
Karena P(1) bukan nol, polinomial tidak habis dibagi oleh binomial x – 1.
Contoh 3
Hitung nilai m sehingga sisa pembagian polinomial
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 dengan x – 2 adalah 6.
Kami memiliki itu, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Contoh 4
Hitung sisa pembagian polinomial 3x³ + x² – 6x + 7 kali 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(-1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

oleh Mark Nuh
Lulus matematika
Tim Sekolah Brasil

Polinomial - matematika - Sekolah Brasil

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm