Perkembangan aritmatika: apa itu, istilah, contoh

ITU deret aritmatika (AP) aku s urutan numerik yang kita gunakan untuk menggambarkan perilaku fenomena tertentu dalam matematika. Dalam PA, pertumbuhan atau pembusukan selalu konstan, yaitu, dari satu istilah ke istilah lain, perbedaannya akan selalu sama, dan perbedaan ini dikenal sebagai alasan.

Sebagai akibat dari perilaku progresi yang dapat diprediksi, Anda dapat menggambarkannya dari rumus yang dikenal sebagai istilah umum. Untuk alasan yang sama, juga dimungkinkan untuk menghitung jumlah suku PA menggunakan rumus tertentu.

Baca juga: Perkembangan geometris - bagaimana cara menghitungnya?

Apa itu PA?

Memahami bahwa PA adalah urutan istilah di mana perbedaan antara istilah dan yang sebelumnya selalu konstan, untuk menggambarkan progresi ini dari sebuah rumus, kita perlu mencari suku awal, atau yaitu, suku pertama dari suatu kemajuan, dan alasannya, yang merupakan perbedaan konstan antara istilah.

Secara umum, PA ditulis sebagai berikut:

(Itu₁, Sebuah₂,Itu₃, Sebuah₄,Itu₅, Sebuah₆,Itu₇, Sebuah₈)

Suku pertama adalah a₁ dan, dari itu, ke Menambahkan Alasannya r, mari kita cari istilah penerusnya.

Itu₁ + r = a₂
Itu₂ + r = a₃
Itu₃ + r = a₄

...

Jadi, untuk menulis barisan aritmatika, kita perlu mengetahui siapa suku pertamanya dan mengapa.

Contoh:

Mari kita tulis enam suku pertama AP dengan mengetahui bahwa suku pertamanya adalah 4 dan rasionya sama dengan 2. mengetahui₁ =4 dan r = 2, kami menyimpulkan bahwa perkembangan ini dimulai pada 4 dan meningkat dari 2 menjadi 2. Oleh karena itu, kita dapat menggambarkan istilah-istilahnya.

Itu₁ = 4

Itu₂ = 4+ 2 = 6

Itu₃ = 6 + 2 = 8

Itu₄ = 8 + 2 = 10

Itu₅= 10 + 2 = 12

Itu₆ = 12 + 2 =14

BP ini sama dengan (4,6,8,10,12,14 ...).

Istilah umum PA

Mendeskripsikan PA dari sebuah rumus memudahkan kita untuk menemukan salah satu istilahnya. Untuk menemukan istilah apa pun dari AP, kami menggunakan rumus berikut:

Itutidak=a1 + r·(n-1)

N→ adalah posisi istilah;

Itu₁→ adalah suku pertama;

r → alasan.

Contoh:

Temukan istilah umum PA (1,5,9,13,…) dan suku ke-5, ke-10, dan ke-23.

langkah pertama: temukan alasannya.

Untuk mencari rasio, cukup hitung selisih antara dua suku berurutan: 5 – 1 = 4; maka, dalam hal ini, r = 4 .

langkah ke-2: menemukan istilah umum.

Bagaimana kita tahu bahwa₁= 1 dan r = 4, mari kita substitusikan ke dalam rumus.

Itu_tidak=a₁ + r (n - 1)

Itu_tidak=1 + 4 (n - 1)

Itu_tidak=1 + 4n - 4

Itu_tidak= 4n – 3 → suku umum PA

langkah ke-3: mengetahui suku umum, mari kita hitung suku ke-5, ke-10 dan ke-23.

Suku ke-5 → n = 5
Itu_tidak=4n - 3
Itu₅=4·5 – 3
Itu₅=20 – 3
Itu₅=17

Suku ke-10 → n = 10
Itu_tidak=4n - 3
Itu₁₀=4·10 – 3
Itu₁₀=40 – 3
Itu₁₀=37

Suku ke-23 → n = 23
Itu_tidak=4n - 3
Itu₂₃=4·23 – 3
Itu₂₃=92 – 3
Itu₂₃=89

Jenis Progresi Aritmatika

Ada tiga kemungkinan untuk PA. Itu bisa meningkat, menurun atau konstan.

• Pertumbuhan

Seperti namanya, deret aritmatika meningkat ketika, saat istilah meningkat, nilainya juga meningkat., yaitu, suku kedua lebih besar dari yang pertama, yang ketiga lebih besar dari yang kedua, dan seterusnya.

Itu₁ < ke₂ < ke₃ < ke₄ < …. tidak

Agar ini terjadi, rasionya harus positif, yaitu, PA meningkat jika r > 0.

Contoh:

(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)

• menurun

Seperti namanya, deret aritmatika turun ketika, saat istilah meningkat, nilainya menurun, yaitu, suku kedua lebih kecil dari yang pertama, yang ketiga lebih kecil dari yang kedua, dan seterusnya.

Itu₁ > itu₂ > itu₃ > itu₄ > …. > itu_tidak

Agar ini terjadi, rasionya harus negatif, yaitu, PA meningkat jika r < 0.

Contoh:

(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)

• Konstan

Suatu deret aritmatika adalah konstan jika, sebagai istilah meningkat, nilainya tetap sama., yaitu, suku pertama sama dengan suku kedua, sama dengan suku ketiga, dan seterusnya.

Itu₁ = itu₂ = itu₃ = itu₄ = …. =a_tidak

Agar PA konstan, rasionya harus sama dengan nol, yaitu r = 0.

Contoh:

(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)

Lihat juga: Produk dari istilah PG - apa rumusnya?

Sifat PA

• properti pertama

Diberikan setiap istilah PA, rata-rata hitung antara penerusnya dan pendahulunya sama dengan istilah itu.

Contoh:

Pertimbangkan perkembangan (-1, 2, 5, 8, 11) dan suku 8. Rata-rata antara 11 dan 5 sama dengan 8, yaitu jumlah penerus dengan pendahulu suatu angka di PA selalu sama dengan angka ini.

• properti ke-2

Jumlah suku-suku yang berjarak sama selalu sama.

Contoh:

Jumlah suku PA

Misalkan kita ingin menambahkan enam suku BP yang ditunjukkan di atas: (16,13,10,7,4,1). Kami hanya dapat menambahkan istilah mereka – dalam hal ini ada beberapa istilah, itu mungkin – tetapi jika ada string yang lebih panjang, Anda harus menggunakan properti. Kita tahu bahwa jumlah suku yang berjarak sama selalu sama, seperti yang kita lihat di properti, jadi jika kita melakukan ini we tambahkan satu kali dan kalikan dengan setengah jumlah suku, kita mendapatkan jumlah enam suku pertama dari PANCI.

Perhatikan bahwa, dalam contoh, kita akan menghitung jumlah yang pertama dan yang terakhir, yang sama dengan 17, dikalikan dengan setengah jumlah suku, yaitu, 17 dikalikan 3, yang sama dengan 51.

rumus dari jumlah suku PA itu dikembangkan oleh ahli matematika Gauss, yang menyadari simetri ini dalam progresi aritmatika. Rumusnya ditulis sebagai berikut:

s_tidak → jumlah n elemen

Itu₁ → istilah pertama

Itu_tidak → istilah terakhir

n → jumlah suku

Contoh:

Hitung jumlah bilangan ganjil dari 1 sampai 2000.

Resolusi:

Kita tahu bahwa barisan ini adalah PA (1,3,5, …. 1997, 1999). Melakukan penjumlahan akan membutuhkan banyak pekerjaan, jadi rumusnya cukup nyaman. Dari 1 hingga 2000, separuh bilangan ganjil, jadi ada 1000 bilangan ganjil.

Data:

n→ 1000

Itu₁ → 1

Itu_tidak → 1999

Juga akses: Jumlah PG yang terbatas – bagaimana melakukannya?

Interpolasi sarana aritmatika

Mengetahui dua suku yang tidak berurutan dari suatu deret aritmatika, adalah mungkin untuk menemukan semua suku yang berada di antara dua bilangan ini, yang kita kenal sebagai interpolasi sarana aritmatika.

Contoh:

Mari kita interpolasi 5 rata-rata aritmatika antara 13 dan 55. Itu berarti ada 5 angka antara 13 dan 55 dan mereka membentuk progresi.

(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).

Untuk menemukan angka-angka ini, perlu untuk menemukan alasannya. Kita mengetahui suku pertama (₁ = 13) dan juga suku ke-7 (₇= 55), tetapi kita tahu bahwa:

Itu_tidak = itu₁ + r ·(n – 1 )

Ketika n = 7 → a_tidak= 55. Kita juga mengetahui nilai a₁=13. Jadi, dengan mensubstitusikannya ke dalam rumus, kita harus:

55 = 13 + r ·( 7 – 1 )

55 = 13 + 6r

55 - 13 = 6r

42 = 6r

r = 42:6

r = 7.

Mengetahui alasannya, kita dapat menemukan suku-suku antara 13 dan 55.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

Barisan dari 1 sampai 10 merupakan barisan aritmatika dari rasio 1.

latihan yang diselesaikan

Pertanyaan 1 - (Enem 2012) - Bermain kartu adalah kegiatan yang merangsang penalaran. Sebuah permainan tradisional adalah Solitaire, yang menggunakan 52 kartu. Awalnya, tujuh kolom dibentuk dengan kartu. Kolom pertama memiliki satu kartu, yang kedua memiliki dua kartu, yang ketiga memiliki tiga kartu, yang keempat memiliki empat kartu, dan seterusnya. berturut-turut ke kolom ketujuh, yang memiliki tujuh kartu, dan apa yang membentuk tumpukan, yang merupakan kartu yang tidak digunakan dalam kolom.

Banyaknya kartu yang menyusun tumpukan tersebut adalah:

A.) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E.31.

Resolusi

Alternatif B

Pertama mari kita hitung jumlah total kartu yang digunakan. Kami bekerja dengan AP yang suku pertamanya adalah 1 dan rasionya juga 1. Jadi, menghitung jumlah 7 baris, suku terakhir adalah 7 dan nilai n juga 7.

Diketahui bahwa jumlah kartu yang digunakan adalah 28 dan ada 52 kartu, maka tumpukan tersebut dibentuk oleh:

52 - 28 = 24 kartu

Pertanyaan 2 - (Enem 2018) Balai kota sebuah kota kecil di pedalaman memutuskan untuk memasang tiang penerangan di sekitar sepanjang jalan lurus yang dimulai di alun-alun dan berakhir di sebuah peternakan di daerah tersebut. pedesaan. Karena alun-alun sudah memiliki penerangan, tiang pertama akan ditempatkan 80 meter dari alun-alun, yang kedua 100 meter, yang ketiga 120 meter, dan seterusnya. berturut-turut selalu menjaga jarak 20 meter antar tiang, sampai tiang terakhir ditempatkan pada jarak 1.380 meter dari kotak.

Jika kota dapat membayar maksimum R$8,000.00 per pos yang ditempatkan, jumlah tertinggi yang dapat Anda belanjakan untuk menempatkan pos ini adalah:

A) BRL 512 0000.00.
B) BRL 520.000,00.
C) R$528.000,00.
D) BRL 552.000,00.
E) BRL 584 0000.00.

Resolusi

Alternatif C.

Kita tahu bahwa tiang akan ditempatkan setiap 20 meter, yaitu r = 20, dan suku pertama PA ini adalah 80. Juga, kita tahu bahwa suku terakhir adalah 1380, tetapi kita tidak tahu berapa banyak suku antara 80 dan 1380. Untuk menghitung jumlah istilah ini, mari kita gunakan rumus istilah umum.

Data:_tidak = 1380; Itu₁=80; dan r = 20.

Itu_tidak=a₁ + r·(n-1)

660 posting akan ditempatkan. Jika masing-masing akan menelan biaya maksimum R$ 8.000, jumlah tertinggi yang dapat dihabiskan dengan penempatan pos-pos ini adalah:

66· 8 000 = 528 000

Oleh Raul Rodrigues de Oliveira 

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm