Matriks segitiga: jenis, determinan, latihan

Matriks adalah segitiga ketika elemen di atas diagonal utama atau elemen di bawah diagonal utama semuanya nol. Ada dua kemungkinan klasifikasi untuk jenis matriks ini: yang pertama adalah ketika elemen di atas diagonal utama adalah nol, yang membentuk matriks segitiga bawah; yang kedua adalah ketika elemen di bawah diagonal utama adalah nol, menyiapkan matriks segitiga atas.

Untuk menghitung determinan matriks segitiga dengan aturan Sarrus, cukup lakukan perkalian diagonal utama, karena perkalian lainnya akan sama dengan nol.

Baca juga: Array — apa itu dan tipe yang ada

Matriks segitiga adalah kasus matriks tertentu.

Jenis Matriks Segitiga

Untuk memahami apa itu matriks segitiga, penting untuk mengingat apa diagonal utama matriks persegi, yaitu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Diagonal utama matriks tersebut adalah suku a._{aku j}, di mana i = j, yaitu, mereka adalah istilah di mana nomor baris sama dengan nomor kolom.

Contoh:

Istilah pada diagonal utama disorot dengan warna merah.

Memahami apa itu matriks persegi dan apa itu diagonal utamanya, mari kita ketahui apa itu matriks segitiga dan klasifikasinya. Ada dua kemungkinan klasifikasi untuk matriks segitiga: Itumatriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas.

• Matriks segitiga bawah: terjadi jika semua suku di atas diagonal utama sama dengan nol dan suku di bawah diagonal utama adalah diagonal bilangan asli.

Contoh numerik:

• Matriks segitiga atas: terjadi jika semua suku di bawah diagonal utama sama dengan nol dan suku di atas diagonal utama adalah bilangan real.

Contoh numerik:

matriks diagonal

Matriks diagonalnya adalah a kasus khusus matriks segitiga tri. Di dalamnya, satu-satunya suku yang bukan nol adalah suku-suku yang terdapat pada diagonal utama. Suku-suku di atas atau di bawah diagonal utama semuanya sama dengan nol.

Contoh numerik matriks diagonal:

Determinan matriks segitiga

Diberikan matriks segitiga, saat menghitung determinan matriks ini dengan Aturan Sarrus, Anda dapat melihat bahwa semua perkalian sama dengan nol, kecuali perkalian suku diagonal utama.

det (A) = a₁₁ · Sebuah₂₂· Sebuah₃₃ +₁₂ · Sebuah₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ ·Itu₂₃ ·0 +₁₁ · Sebuah₂₃ · 0 +₁₂ · 0· Sebuah₃₃)

Perhatikan bahwa dalam semua istilah kecuali yang pertama, nol adalah salah satu faktornya, dan semua perkalian dengan nol sama dengan nol, jadi:

det (A) = a₁₁ · Sebuah₂₂· Sebuah₃₃

Perhatikan bahwa ini adalah produk antara suku-suku diagonal utama.

Berapapun jumlah baris dan kolom yang dimiliki matriks segitiga, determinan akan selalu sama dengan hasil kali suku-suku diagonal utama.

Lihat juga: Determinan — fitur yang diterapkan pada matriks persegi

Properti Matriks Segitiga

Matriks segitiga memiliki beberapa sifat khusus.

• properti pertama: determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali suku-suku diagonal utama.
• properti ke-2: hasil kali antara dua matriks segitiga adalah matriks segitiga.
• properti ke-3: jika salah satu suku dari diagonal utama matriks segitiga sama dengan nol, maka determinannya akan sama dengan nol dan, akibatnya, tidak dapat dibalik.
• properti ke-4: matriks invers dari matriks segitiga juga merupakan matriks segitiga.
• properti ke-5: jumlah dua matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas; demikian pula, jumlah dua matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah.

latihan yang diselesaikan

1) Diberikan matriks A, nilai determinan A adalah:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Resolusi

Alternatif d.

Matriks ini adalah segitiga bawah, jadi determinannya adalah perkalian suku-suku pada diagonal utama.

det (A) = 1·3·3·1·5 = 45

2) Nilailah pernyataan-pernyataan berikut.

I → Setiap matriks persegi adalah segitiga.

II → Jumlah matriks segitiga atas dengan matriks segitiga bawah selalu merupakan matriks segitiga.

III → Setiap matriks identitas diagonal adalah matriks segitiga.

Urutan yang benar adalah:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Resolusi

Alternatif d.

I → Salah, karena setiap matriks segitiga adalah persegi, tetapi tidak setiap matriks persegi adalah segitiga.

II → Salah, karena jumlah antara matriks segitiga atas dan bawah tidak selalu menghasilkan matriks segitiga.

III → Benar, karena suku yang berbeda dengan diagonal sama dengan nol.

Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika

Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm