Kami tahu caranya pengaturan ulangi, atau pengaturan lengkap, semua pengelompokan ulang terurut yang dapat kita bentuk dengan k elemen himpunan dengan tidak elemen, dengan elemen tidak mungkin muncul lebih dari sekali. ITU analisis kombinatorial itu adalah bidang matematika yang mengembangkan teknik berhitung untuk menemukan jumlah cluster yang mungkin dalam situasi tertentu.
Di antara pengelompokan tersebut, ada susunan dengan pengulangan, hadir, misalnya dalam membuat kata sandi, plat nomor, diantara yang lain. Untuk mengatasi situasi ini, kami menerapkan rumus pengaturan dengan pengulangan sebagai teknik penghitungan. Ada rumus yang berbeda untuk menghitung susunan berulang dan susunan tidak berulang, jadi penting untuk mengetahui bagaimana membedakan masing-masing situasi ini untuk menerapkan teknik penghitungan yang benar.
Baca juga: Prinsip dasar penghitungan - konsep utama analisis kombinatorial
Apa yang dimaksud dengan pengaturan dengan pengulangan?
![Ada pengaturan dengan pengulangan dalam produksi pelat kendaraan. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
Dalam kehidupan kita sehari-hari, kita menemukan situasi yang melibatkan urutan dan pengelompokan, yang muncul di pilih kata sandi dari jejaring sosial atau bank, dan juga dalam nomor telepon atau situasi yang melibatkan antrian. Bagaimanapun, kita dikelilingi oleh situasi yang melibatkan pengelompokan ini.
Misalnya, pada pelat nomor yang terdiri dari tiga huruf dan empat angka, ada string unik berdasarkan negara bagian yang mengidentifikasi masing-masing mobil, dalam hal ini, kami bekerja dengan pengaturan. Bila memungkinkan untuk mengulang elemen, kami bekerja dengan pengaturan lengkap atau pengaturan dengan pengulangan.
Diberikan satu set dengan tidak elemen, kita kenal sebagai pengaturan dengan pengulangan semua pengelompokan yang bisa kita bentuk dengan k elemen ini set, di mana elemen dapat diulang lebih dari satu kali. Pada pelat nomor kendaraan, misalnya, jumlah pelat nomor yang mungkin dapat kita bentuk, ambil dengan mempertimbangkan bahwa mereka memiliki tiga huruf dan empat angka dan bahwa huruf dan angka dapat diulang.
Untuk menghitung jumlah kemungkinan pengaturan berulang, kami menggunakan rumus yang sangat sederhana.
Rumus susunan dengan pengulangan
Untuk menemukan jumlah pengaturan penuh dari tidak elemen berbeda yang diambil dari k di
oh, dalam situasi tertentu yang memungkinkan pengulangan elemen, kami menggunakan rumus berikut:
UDARAtidak,k = tidakk
AR → pengaturan dengan pengulangan
tidak → jumlah elemen dalam himpunan
k → jumlah elemen yang akan dipilih
Lihat juga: Kombinasi sederhana - hitung semua himpunan bagian dari himpunan tertentu
Cara Menghitung Nomor Susunan Berulang
Untuk lebih memahami bagaimana menerapkan rumus susunan berulang, lihat contoh di bawah ini.
Contoh 1:
Kata sandi bank memiliki lima digit yang hanya terdiri dari angka, berapa jumlah kata sandi yang mungkin?
Kita tahu bahwa kata sandi adalah string lima digit dan tidak ada batasan pengulangan, jadi kami akan menerapkan rumus pengaturan dengan pengulangan. Pengguna harus memilih, di antara 10 digit, yang akan menyusun masing-masing dari lima digit kata sandi ini, yaitu, kami ingin menghitung pengaturan dengan pengulangan 10 elemen yang diambil setiap lima.
UDARA10,5 = 105 = 10.000
Jadi ada 10.000 kemungkinan kata sandi.
Contoh 2:
Mengetahui bahwa plat nomor kendaraan terdiri dari tiga huruf dan empat angka, berapa banyak plat nomor yang mungkin dibentuk?
Alfabet kita terdiri dari 26 huruf, dan ada 10 kemungkinan angka, jadi mari kita bagi menjadi dua array lengkap dan temukan jumlah kemungkinan array untuk huruf dan angka.
UDARA26,3 = 26³ = 17.576
UDARA10,4 = 104 = 10.000
Jadi, total susunan yang mungkin adalah:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Perbedaan antara susunan sederhana dan susunan berulang
Membedakan susunan sederhana dari susunan dengan pengulangan sangat penting untuk memecahkan masalah pada topik. Hal penting untuk diferensiasi adalah menyadari bahwa ketika kita berhadapan dengan situasi di mana ada pengelompokan ulang yang urutannya penting, itu adalah pengaturan, dan jika pengelompokan ulang ini mengakui pengulangan antar istilah, itu adalah pengaturan dengan pengulangan, juga dikenal sebagai pengaturan lengkap. Ketika pengelompokan ulang tidak memungkinkan pengulangan, ini tentang susunan sederhana.
Rumus untuk susunan sederhana berbeda dengan yang kita gunakan untuk susunan berulang.
Kami telah melihat contoh pengaturan berulang sebelumnya, sekarang lihat contoh pengaturan sederhana
Contoh:
paulo ingin meletakkan di raknya tiga dari 10 buku sekolahnya, semuanya berbeda satu sama lain, berapa banyak cara dia dapat mengatur buku-buku ini?
Perhatikan bahwa, dalam hal ini, urutannya penting, tetapi tidak ada pengulangan, karena ini adalah pengaturan yang sederhana. Untuk menemukan jumlah kemungkinan pengelompokan, kita harus:
Untuk mempelajari lebih lanjut tentang bentuk pengelompokan lain yang digunakan dalam analisis kombinatorial ini, baca teks: ITUpengaturan sederhana.
Latihan diselesaikan:
Pertanyaan 1 - (Enem) Sebuah bank meminta nasabahnya untuk membuat sandi enam digit pribadi, yang hanya terdiri dari angka 0 hingga 9, untuk mengakses rekening giro melalui internet. Namun, seorang spesialis dalam sistem keamanan elektronik merekomendasikan agar manajemen bank mendaftarkan ulang penggunanya, meminta untuk: masing-masing, pembuatan kata sandi baru dengan enam digit, sekarang memungkinkan penggunaan 26 huruf alfabet, selain angka dari 0 hingga 9. Dalam sistem baru ini, setiap huruf kapital dianggap berbeda dari versi huruf kecilnya. Selain itu, penggunaan jenis karakter lain dilarang.
Salah satu cara untuk mengevaluasi perubahan dalam sistem kata sandi adalah dengan memeriksa koefisien peningkatan, yang merupakan alasan untuk jumlah kemungkinan kata sandi baru dalam kaitannya dengan yang lama. Koefisien perbaikan perubahan yang direkomendasikan adalah:
Resolusi
Alternatif A
Kata sandi lama adalah larik dengan pengulangan, karena dapat terdiri dari semua angka, jadi itu adalah larik 10 elemen yang diambil setiap enam.
UDARA10,6 = 106
Password baru dapat terdiri dari 10 digit dan juga huruf kapital (26 huruf) dan huruf kecil (26 huruf), jadi kata sandi memiliki, untuk setiap digit, total 10 + 26 + 26 = 62 kemungkinan. Karena ada enam digit, kami akan menghitung susunannya dengan pengulangan 62 elemen yang diambil setiap enam.
UDARA62,6 = 626
ITU alasan jumlah kemungkinan kata sandi baru dibandingkan dengan yang lama sama dengan 626/106.
Pertanyaan 2 - (Enem 2017) Sebuah perusahaan akan membangun situs webnya dan berharap dapat menarik audiens sekitar satu juta pelanggan. Untuk mengakses halaman ini, Anda memerlukan kata sandi dengan format yang ditentukan oleh perusahaan. Ada lima opsi format yang ditawarkan oleh programmer, dijelaskan dalam tabel, di mana "L" dan "D" masing-masing mewakili huruf kapital dan angka.
Huruf alfabet, di antara 26 kemungkinan, serta angka, di antara 10 kemungkinan, dapat diulang di salah satu opsi.
Perusahaan ingin memilih opsi format yang jumlah kemungkinan kata sandi berbedanya lebih besar dari jumlah pelanggan yang diharapkan, tetapi jumlah ini tidak melebihi dua kali jumlah yang diharapkan dari pelanggan.
Resolusi
Alternatif E
Dengan menghitung setiap kemungkinan, kami ingin menemukan kata sandi yang memiliki lebih dari satu juta kemungkinan dan kurang dari dua juta kemungkinan.
Saya → LDDDDD
26 ·105 lebih besar dari dua juta, sehingga tidak memenuhi permintaan perusahaan.
II → DDDDDD
106 sama dengan satu juta, sehingga tidak memenuhi permintaan perusahaan.
III → LLDDDD
26² · 104 lebih besar dari dua juta, sehingga tidak memenuhi permintaan perusahaan.
IV → DDDDD
105 itu kurang dari satu juta, jadi tidak memenuhi permintaan perusahaan.
V → LLLDD
26³ ·10² adalah antara satu juta dan dua juta, jadi templat kata sandi ini sangat ideal.
Kredit gambar
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Oleh Raul Rodrigues de Oliveira
Guru matematika
Sumber: Sekolah Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm