Ön irracionális számok hosszú ideig nagy aggodalmat okozott a matematikusokban. Ma már jól körülhatárolva irracionális számként ismerjük azt, akinek a tizedes ábrázolás mindig nem periodikus tizedes. Az irracionálisok fő jellemzője, és mi különbözteti őket a racionális számoktól, az, hogy ők nem ábrázolható a töredék.
Az irracionális számok tanulmányozása elmélyült, amikor a Pitagorasz-tételbe tartozó problémák kiszámításakor nem pontos gyökereket találtak. E pontatlan gyökerek megoldásának keresése figyelemre méltóvá tette a nem pontos tized létét periodikus, vagyis azoknak a számoknak a száma, amelyek tizedes része végtelen és nem jó sorrendű. meghatározott. A fő irracionális számok a nem periodikus tizedesek, a nem pontos gyökök és a π.
Olvassa el: Négyzetgyök - gyökeresedés esete, ahol a radikális index 2
Iracionális számok halmaza
Az irracionális számok vizsgálata előtt számkészleteket vizsgáltak természetes, egész számok és racionális értékek. Amikor mélyebben elmélyültünk a téglalap háromszög tanulmányozásában, kiderült, hogy
vannak olyan gyökerek, amelyekre nincs pontos megoldás, különösen azt lehetett látni, hogy a nem pontos gyökös megoldások számok nem periodikus tizedként ismert.E nyugtalanság közepette sok matematikus megpróbálta sikertelenül bemutatni, hogy a pontatlan gyökerek racionális számok és amelyet töredékként lehet ábrázolni, de az valósult meg, hogy ezek a számok nem jeleníthetők meg ebben forma. Mivel eddig a racionális számok halmaza nem tartalmazta ezeket a számokat, felmerült az igény egy új halmaz létrehozására, amelyet irracionális számok halmazának nevezünk.
Egy szám akkor irracionális, ha a tizedes ábrázolása nem periodikus tizedes. |
Mik az irracionális számok?
Ahhoz, hogy irracionális szám legyen, meg kell felelnie a definíciónak, vagyis a tizedes ábrázolása nem periodikus tizedes. A nem periodikus tizedesjegyek fő jellemzője, hogy azokat nem lehet töredékkel ábrázolni, ami azt mutatja, hogy az irracionális számok ellentétesek a racionális számokkal.
A fő számok ezzel a funkcióval a gyökerei nem pontosak.
Példák:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Amikor nem pontos gyökérmegoldásokat keres, vagyis ezeknek a számoknak a tizedes ábrázolását hajtja végre találunk egy nem periodikus tizedest, amely ezeket a számokat a halmaz elemeivé teszi irracionális.
A nem pontos gyökerek mellett vannak nem periodikus tizedesek is, például ha nem pontos gyökeket számolunk, akkor találunk nem periodikus tizedest.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Az irracionális számokat általában görög betűk jelentik, mert nem lehet minden tizedesjegyét megírni.
Az első a π (olvassa el: pi), jelen van a körök területének és kerületének kiszámításakor. Értéke egyenlő 3,1415926535…
A π mellett egy másik nagyon gyakori szám a ϕ (olvasható: fi). A arány aranysárga. Ennek értéke 1,618033 ...
Lásd még: Mik a prímszámok?
racionális és irracionális szám
A számkészletek elemzésekor fontos különbséget tenni a racionális és az irracionális számok között. E két halmaz egyesülése alkotja a matematika egyik legtöbbet vizsgált halmazát, a valósok halmazát, vagyis a valós számok a (racionális) reprezentálható számok egyesítése a (nem irracionális) törtként ábrázolható számokkal.
A készletben racionális számok, ott vannak az egész számok, a természetesek, a pontos tizedesjegyek és a periodikus tizedesek.
Példák racionális számokra:
-60 → egész szám
2,5 → pontos tizedes
5.1111111… → periodikus tizedes
Az irracionális számok nem periodikus tizedesek, tehát nincs olyan szám, amely egyszerre lenne racionális és irracionális.
Példa irracionális számokra:
1,123149… → nem periodikus tized
2.769235… → nem periodikus tized
Irracionális számokkal végzett műveletek
összeadás és kivonás
A kiegészítés és a kivonás két irracionális szám közül általában az csak képviseltette magát, hacsak nem használjuk ezen számok tizedes közelítését, például:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
A gyökök miatt nem adhatunk hozzá és nem vonhatunk le értékeket, ezért csak elhagytuk a jelzett műveletet.
Tizedes ábrázolásban szintén nem lehet pontos összeget végrehajtani, tehát Két irracionális szám hozzáadásához racionális közelítésre van szükségünk., és ezt az ábrázolást az adatok pontosságának igénye szerint választják meg. Minél több tizedesjegyet veszünk figyelembe, annál közelebb jutunk a pontos összeghez.
Megfigyelés:az irracionális számok halmaza nincs lezárva összeadáshoz vagy kivonáshoz, ez azt jelenti, hogy két irracionális szám összege olyan számot eredményezhet, amely nem racionális. Például, ha kiszámítjuk az irracionális szám különbségét annak ellentétével, akkor:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Tudjuk, hogy a 0 nem irracionális szám.
Szorzás és osztás
A szorzás és osztály az irracionális számokból megtehető, ha a reprezentáció a sugárzásazonban az összeadáshoz hasonlóan, a tizedes ábrázolásban, vagyis két tizedes szorzásában vagy elosztásában ennek a számnak a racionális közelítésére van szükség.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Vegye figyelembe azt is, hogy a b) példában a 4 racionális szám, ami azt jelenti, hogy két irracionális szám szorzása és osztása nincs lezárva, vagyis racionális eredményük lehet.
megoldott gyakorlatok
1. kérdés - Tekintse át a következő számokat:
I) 3,1415926535
II) 4,1234510…
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Ezek irracionális számok:
A) Csak I., IV. És V.
B) Csak a II, III és VI
C) Csak a II., A IV. És a VI
D) Csak az I., a II., A III. És a VI
E) Csak a III., A IV., Az V. és a VI
Felbontás
B alternatíva
I → a szám pontos tizedes, racionális.
II → a szám nem periodikus, irracionális tizedes.
A III → π irracionális, és kettős, azaz 2π is irracionális.
IV → a szám periodikus, racionális tizedes.
V → pontos, racionális gyök.
VI → gyökér nem pontos, irracionális.
2. kérdés - Kérjük, ítélje meg a következő állításokat:
I - A valós számok halmaza a racionális és irracionális egyesülése;
II - Két irracionális szám összege racionális szám lehet;
III - A tized irracionális szám.
Az állításokat elemezve elmondhatjuk, hogy:
A) Csak az I. állítás igaz.
B) Csak a II. Állítás igaz.
C) Csak a III. Állítás igaz.
D) Csak az I. és a II. Állítás igaz.
E) Minden állítás igaz.
Felbontás
D alternatíva
I → Igaz, mert a valós számok halmazának meghatározása az unió a racionális és irracionális között.
II → Igaz, ha hozzáadunk egy számot az ellenkezőjéhez, akkor ennek eredményeként megkapjuk a 0 számot, amely racionális.
III → A hamis, nem periodikus tized irracionális.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm