megértése készletek tanulmányának fő alapja algebra és a matematikában nagy jelentőségű fogalmak, mint pl funkciókat és az egyenlőtlenségek. A halmazokhoz használt jelölés mindig nagybetű az ábécénkből (pl. A vagy B halmaz).
Szempontjából készletek ábrázolása, megteheti Venn-diagram, egyszerűen leírva elemeinek jellemzőit, felsorolva az elemeket vagy leírva azok tulajdonságait. Ha halmazokkal járó problémákkal dolgozik, vannak olyan helyzetek, amelyek megkövetelik a teljesítményt műveletek halmazok között, mivel ők az unió, a kereszteződés és a különbség. Részletesen tanulmányozzuk mindezt?
Lásd még: Numerikus kifejezések - tanulja meg megoldani őket!
A halmazok jelölése és ábrázolása
Egy halmaz ábrázolásához mindig a-t használjuk az ábécé nagybetűje, és az elemek mindig között vannak kulcsok és vesszővel választják el egymástól. Például az 1-nél nagyobb és a 20-nál kisebb páros számok halmazának ábrázolásához a következő jelölést használjuk: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
A halmazok ábrázolásának formái
ábrázolás számbavétel útján: elemeit felsorolhatjuk, vagyis listát készíthetünk, mindig zárójelek között. Lásd egy példát:
A = {1,5,9,12,14,20}
a jellemzők leírása: egyszerűen leírhatjuk a halmaz jellemzőit. Például legyen X halmaz, megvan, hogy X = {x az 5 pozitív számszorosa; Y: az év hónapjainak halmaza.
Venn-diagram: a halmazok ábrázolhatók diagram formájában is, amely a néven ismert Venn-diagram, amely hatékonyabb reprezentáció a műveletek végrehajtásához.
Példa:
Tekintettel az A = {1,2,3,4,5} halmazra, a következő Venn-diagramon ábrázolhatjuk:
A halmaz és a tagsági viszony elemei
Bármely elemet megadva azt mondhatjuk, hogy az elem tartozik a halmazhoz vagy nem tartozik ahhoz a készlethez. A tagsági viszony gyorsabb képviseletéhez a szimbólumokat használjuk
(olvasni, mint tartozást) és ∉ (olvasni, mint nem tartozik). Például P legyen a halmaza párszámokat, azt mondhatjuk, hogy a 7 ∉ P és a 12 P.
A halmazok egyenlősége
A halmazok összehasonlítása elkerülhetetlen, ezért azt mondhatjuk, hogy két halmaz egyenlő vagy sem, minden elemét ellenőrizve. Legyen A = {0,1,3,4,8} és B = {8,4,3,1,0}, még akkor is, ha az elemek különböző sorrendben vannak, azt mondhatjuk, hogy az A és B halmaz egyenlő: A = B.
Befogadás kapcsolata
Két halmaz összehasonlításakor több összefüggéssel is találkozhatunk, és az egyik az inklúziós kapcsolat. Ehhez a kapcsolathoz ismernünk kell néhány szimbólumot:
⊃ → ⊂-t tartalmaz→ tartalmazza
⊅ → nem tartalmaz ⊄→nincs benne
Tipp: A szimbólum nyitó oldala mindig a nagyobb halmaz felé néz. |
Amikor az A halmaz összes eleme szintén B halmazhoz tartozik, akkor azt mondjuk, hogy A ⊂ B vagy hogy A benne van B-ben. Például A = {1,2,3} és B = {1,2,3,4,5,6}. Lehetséges az ábrázolás végrehajtása is Venn-diagram, ez így néz ki:
Az A-t B tartalmazza:
A ⊂ B
Alcsoportok
Amikor a befogadási kapcsolat, vagyis az A halmaz a B halmazban található, mondhatjuk, hogy A B részhalmaza. Az alkészlet halmaz marad, és a a setnek több részhalmaza lehet, a hozzá tartozó elemekből épült.
Például: A: Az {1,2,3,4,5,6,7,8} részhalmazai a B halmazok: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} és még az A halmaz is {1,2,3,4,5,6,7,8}, vagyis A önmagának részhalmaza.
egységes készlet
Ahogy a neve is sugallja, ez az a készlet csak egy eleme van, mint a korábban bemutatott D: {1} halmaz. Tekintettel a B halmazra: {1,2,3}, megvan a {1}, {2} és {3} részhalmaz, amelyek mindegyike egységkészlet.
FIGYELEM: Az E: {0} halmaz szintén egységes halmaz, mivel egyetlen eleme van, „0”, és nem üres halmaz.
Olvassa el: Egész számok - elemek és jellemzők halmaza
üres készlet
Még szuggesztívebb név esetén az üres halmaznak nincsenek elemei, és bármely halmaz részhalmaza. Az üres halmaz képviseletére kétféle ábrázolás lehetséges, ezek V: {} vagy az Ø szimbólum.
Alkatrészkészletek
Részhalmazként ismerjük az adott halmaz összes lehetséges részhalmazát. Legyen A: {1,2,3,4}, felsorolhatjuk ennek az A halmaznak az összes halmazát, kezdve azokkal nincsenek (üres) elemei, majd azok, amelyekben van egy, kettő, három és négy elem, illetőleg.
üres készlet: { };
Egységkészletek: {1}; {2};{3}; {4}.
Két elemű készletek: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
három elemű halmazok: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Négy elemből áll: {1,2,3,4}.
Ezért az A részek halmazát így írhatjuk le:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Annak kiderítéséhez, hogy hány részre van lehetőség egy halmaz felosztására, a következő képletet használjuk:
n [P (A)] = 2nem
Az A részek számát a számítja ki potencia 2. alapja emelve nem, mire nem a halmaz elemeinek száma.
Vegyük figyelembe az A: {1,2,3,4} halmazt, amelynek négy eleme van. Ennek a halmaznak az összes lehetséges részhalmaza: 24 =16.
Olvassa el: Mi az irracionális számok halmaza?
Véges és végtelen készlet
Ha halmazokkal dolgozunk, olyan halmazokat találunk korlátozott (véges) és akik vannak korlátlan (végtelen). A halmaz páros vagy páratlan számokpéldául végtelen, és annak ábrázolásához néhány elemét egymás után írjuk le, így meg lehet jósolni, hogy mi lesz a következő elem, és ellipszist teszünk a Végső.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
Véges halmazban azonban nem az ellipsziseket tesszük a végére, mivel annak meghatározott kezdete és vége van.
V: {1,2,3,4}.
univerzum készlet
O univerzum készlet, jelöli U, azt a halmazt határozza meg, amelyet az összes elem képez, amelyet egy problémán belül figyelembe kell venni. Minden elem az univerzumkészlethez tartozik, és minden halmaz benne van az univerzumkészletben.
Műveletek halmazokkal
A halmazokkal végzett műveletek a következők: egyesülés, metszéspont és különbség.
A halmazok metszéspontja
Metszéspont akkor fordul elő, amikor az elemek egyidejűleg egy vagy több halmazhoz tartoznak. Az A∩B írásakor olyan elemeket keresünk, amelyek mind az A, mind a B halmazhoz tartoznak.
Példa:
Tekintsük A = {1,2,3,4,5,6} és B = {2,4,6,7,8} értékeket, az A és a B halmazba tartozó elemek: A∩B = {2, 4,6}. A művelet ábrázolása a következőképpen történik:
A∩B
Ha a halmazoknak nincsenek közös elemei, akkor ezek a következők: diszjunkt készletek.
A∩B = Ø
különbség a halmazok között
kiszámítja a különbség két halmaz között olyan elemek keresése, amelyek csak a két halmaz egyikéhez tartoznak. Például az A - B válaszként olyan halmazot tartalmaz, amely az A halmazhoz tartozó és a B halmazhoz nem tartozó elemekből áll.
Példa: A: {1,2,3,4,5,6} és B: {2,4,6,7,8}. Vegye figyelembe, hogy A ∩ B = {2,4,6}, tehát megvan:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Egység
Két vagy több halmaz egyesítése a csatlakozik a feltételeihez. Ha vannak olyan elemek, amelyek mindkét halmazban megismétlődnek, akkor csak egyszer íródnak. Például: A = {1,2,3,4,5} és B = {4,5,6,7,10,14}. Az unió képviseletére a szimbólumot használjuk (ez olvasható: A unió B-vel).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Ha többet szeretne megtudni ezekről a műveletekről és megnézni több megoldott gyakorlatot, olvassa el: Műveletek halmazokkal.
Morgan törvényei
Legyen A és B két halmaz, és U legyen az univerzum halmaza, két tulajdonság van, amelyet Morgan törvényei adnak meg, nevezetesen:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Példa:
Tekintettel a készletekre:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
V: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Ellenőrizzük, hogy (A U B)ç = Aç ∩Bç. Tehát:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Ezért (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Az egyenlőség valódiságának ellenőrzéséhez elemezzük az A műveletetç ∩Bç:
Aç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Azután, Aç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
megoldott gyakorlatok
01) Tekintsük U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} és B: {4,5,6, 7,8,9}. Mutassa meg, hogy (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Felbontás:
1. lépés: megtalálni (A ∩ B)ç. Ehhez megvan, hogy A ∩ B = {4,5,6}, tehát (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. lépés: találniç U Bç. Aç: {7,8,9,10} és Bç: {1,2,3,10}, tehát Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Kimutatták, hogy (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Tudva, hogy A az 1-től 20-ig terjedő páros számok halmaza, mekkora az összesített részhalmazok száma, amelyet a halmaz elemeiből felépíthetünk?
Felbontás:
Legyen P a leírt halmaz, megvan az a P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Ezért a P elemeinek száma 10.
Az alkatrészelmélet alapján a P lehetséges részhalmazainak száma:
210=1024
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
