Trigonometrikus kör: mi ez, példák, gyakorlatok

a trigonometrikus kör egy 1 sugarú kör, amelyet a Derékszögű sík. Ebben a vízszintes tengely a koszinusi tengely, a függőleges tengely pedig a szinusz tengely. Trigonometrikus ciklusnak is nevezhető.

A trigonometrikus arányok vizsgálatának elvégzésére szolgál. Ezzel jobban meg lehet érteni a fő trigonometriai okokat szögek 180º-nál nagyobb, nevezetesen: a szinusz, a koszinusz és az érintő.

Olvassa el: 4 leggyakoribb hiba az alapvető trigonometria során

Lépésről lépésre a trigonometrikus kör felépítése

A trigonometrikus kör felépítéséhez két tengelyt használunk, egy függőleges és egy vízszintes, mint a derékszögű sík. A vízszintes tengely néven ismert koszinusi tengely, a függőleges tengely pedig szinusz tengely.

Szinusz tengely kék és függőleges, koszinusz tengely piros és vízszintes.
A függőleges tengely a szinusz tengely, a vízszintes tengely pedig a koszinusz tengely.

A tengelyek felépítésével rajzoljuk meg az 1 sugarú kör grafikonját.

Trigonometrikus kör, amely azt jelzi, hogy a sugár mérése 1.
Trigonometrikus kör, amely azt jelzi, hogy a sugár mérése 1.

Trigonometrikus arányok a körben

A kör segítségével megkeressük az értékét

szinusz, koszinusz és érintő, a szögértéknek megfelelően. bejutni függőleges tengelyen a szinuszérték, a vízszintes tengelyen pedig a koszinuszérték, a trigonometrikus kör szögének meghatározásával meg lehet találni a szinusz és a koszinusz értékét a annak a pontnak a koordinátái, ahol a vonalszakasz összeköti a kör közepét és a kerületet, amelyet az a képen P képvisel kövesse. Ha az (1.0) pontban megrajzoljuk az érintő vonalat a körhöz, akkor ennek a szögnek az érintőjét is analitikusan kiszámíthatjuk a kép szerint:

Trigonometrikus kör, amely jelzi a P pontot, az α szöget, valamint ennek a szögnek a szinuszát, a koszinuszát és az érintőjét.
A P pont koordinátái P (cosα, sinα).

Olvassa el: Mi a szekáns, a koszekáns és a kotangens?

Trigonometrikus kör radiánok

Trigonometrikus kör szögei fokban (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° és 360 °) mérve.
Trigonometrikus ciklus mértéke fokban

Tudjuk, hogy egy ív két különböző mértékegységgel mérhető: a mérték fokokban és a mérték a radiánok. Tudjuk a kerülete 360º és hogy az íved hossza 2π:

Trigonometrikus kör sugaraival mért szögeivel (0, π / 2, π, 3π / 2, 2π).
Trigonometrikus ciklus mérése radiánban

A trigonometrikus kör kvadránsai

Akár radiánban, akár fokokban, annak mérése szerint meghatározható az a kör, amelyben az adott ív található.

Trigonometrikus kör a kvadránsok megjelölésével
Trigonometrikus kör a kvadránsok megjelölésével

A ciklust elemezve:

  • első negyed: 0 és 90 ° vagy 0 és π / 2 radián közötti szög;

  • második negyed: 90 ° és 180 ° közötti szög vagy π / 2 és π radián;

  • harmadik negyed: 180 ° és 270 ° vagy π és 3 π / 2 radián közötti szög;

  • negyedik negyed: szögek, amelyek 270 ° és 360 ° vagy 3π / 2 és 2π radián között vannak.

Olvassa el: Terv jellemzői és tulajdonságai

Figyelemre méltó szögek a trigonometrikus körben

A tanulmány kezdetén trigonometria, megtudtuk, hogy a figyelemre méltó szögek a 30, 45 és 60 fokos szögek, amelyek értéke az ismert szinusz, koszinusz és érintő értéke. A trigonometrikus ciklus szimmetriája miatt azonban megtalálható ezeknek a szögeknek a szinusz- és koszinusz-értéke, valamint a szimmetrikus szögek neki az egyes negyedekben.

Trigonometrikus kör a nevezetes szögek szinusz- és koszinusz-értékeivel
Szinusz- és koszinusz-értékek a trigonometria fő szögeihez

Trigonometrikus körjelek

Ahhoz, hogy megértsük, mi a ciklus egyes trigonometrikus arányainak jele, elég elemezni a tengelyértékeket a derékszögű síkban.

Kezdjük a koszinussal. Mivel ez a vízszintes tengely, a függőleges tengelytől jobbra elhelyezkedő szögek koszinusa pozitív, a függőleges tengelytől balra elhelyezett szögek pedig a negatív.

Trigonometrikus kör, amely a koszinusz jeleit mutatja a negyedekben: pozitív az 1. és a 4., negatív a 2. és 3. pontban.
A koszinusz pozitív az 1. és a 4. és a negatív a 2. és a 3. negyedben.

Most, hogy megértsük a szög szinuszjelét, ne feledjük, hogy a függőleges tengely a szinusz tengely, tehát a vízszintes tengely fölötti szög szinusa pozitív; de ha a szög a vízszintes tengely alatt van, akkor ennek a szögnek a szinusa negatív, amint azt a következő kép mutatja:

Trigonometrikus kör, amely a szinuszjeleket mutatja a negyedekben: pozitív az 1. és a 2., negatív a 3. és 4. pontban.
A szinusz pozitív az 1. és a 2. és a negatív a 3. és a 4. negyedben.

Tudjuk az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, majd, hogy megtaláljuk az egyes negyedek érintőjének előjelét, játszunk a jel játékkal, amely az érintőt pozitívvá teszi a páratlan és negatívvá a páros kvadránsokban:

Trigonometrikus kör, amely az érintő jeleit mutatja a kvadránsokban: pozitív az 1. és 3., negatív a 2. és 4. pontban.
Az érintő pozitív az 1. és a 4. és a negatív a 2. és a 3. negyedben.

Olvassa el: Mi a félegyenes, a félsík és a féltér?

szimmetria a körben

A trigonometrikus ciklus elemzése, lehetséges megalkotni a szinusz, koszinusz és az első negyed érintőjének csökkentését. Ez a redukció azt jelenti, hogy az első kvadránsban olyan szöget találunk, amely szimmetrikus a többi kvadráns szögével, mert amikor szimmetrikus szöggel dolgozunk, a trigonometrikus arányok értéke megegyezik, csak annak jel.

  • A 2. negyedben lévő szög csökkentése az 1. kvadránshoz

A 2. negyedben lévő szögekkel kezdve:

Redukció olyan szögből, amely a 2. kvadrátban van, a trigonometrikus kör 1. kvadrátjába.

Mint tudjuk, az 1. és a 2. negyedben a szinusz pozitív. Tehát, hogy kiszámítsuk a szinusz redukcióját a 2. és az 1. kvadráns között, a következő képletet használjuk:

sin x = bűn (180º - x)

A koszinusz és az érintő a 2. negyedben negatív. A koszinusz 2. és 1. negyed közötti csökkentésére a következő képletet használjuk:

cosx = - cos (180º - x)

tg x = - tg (180º - x)

Példa:

Mennyi a szinusz és a koszinusz értéke egy 120 ° -os szögnek?

A 120 ° -os szög egy kvadráns második szög, mivel 90 ° és 180 ° között van. Ennek a szögnek az első kvadránsra való csökkentésére kiszámítjuk:

bűn 120 ° = bűn (180 ° - 120 °)

sin 120º = bűn 60º

A 60 ° -os szög figyelemre méltó szög, így szinuszértéke ismert, tehát:

120 ° -os szög szinuszérték

Most számoljuk ki a koszinuszát:

cos 120º = - cos (180 - 120)

cos 120º = - cos 60º

Mivel ismerjük a 60º koszinuszt, meg kell tennünk:

  • A 3. negyedben lévő szög csökkentése az 1. negyedre

Csakúgy, mint a 2. negyedben, itt is szimmetria van a 3. és az 1. negyed szögei között.

 Redukció olyan szögből, amely a 3. és az 1. kvadráns között van, a trigonometrikus körben

A szinusz és a koszinusz a harmadik negyedben negatív. Tehát a szinusz és a koszinusz csökkentésére a 3. és az 1. kvadráns között a következő képletet használjuk:

sin x = - bűn (x - 180º)

cosx = - cos (x - 180º)

Az érintő a 3. negyedben pozitív. Csökkentésére a következő képletet használjuk:

tg x = tg (x - 180º)

Példa:

Számítsa ki a szinuszot, a koszinust és az érintőt a 225º-ban

sin 225º = - bűn (225º - 180º)

sin 225º = - bűn 45º

Mivel a 45º figyelemre méltó szög, az asztal megkeresésekor:

225 ° szög szinuszérték

A koszinusz kiszámításakor:

tg 225º = tg (225º - 180º)

tg 225º = tg 45º

Tudjuk, hogy tg45º = 1, tehát:

tg 225º = 1

  • A 4. negyedben lévő szög csökkentése az 1. negyedre

Az előző csökkentésekkel megegyező érveléssel szimmetria van a 4. és 1. negyed között:

Csökkentés a trigonometrikus kör 4. negyedében lévő szögből az 1. kvadránsba

A 4. negyedben a szinusz és az érintő érték negatív. Tehát a 4. és az 1. negyed közötti csökkentéshez a következő képletet használjuk:

sin x = - bűn (360º - x)

tg x = - tg (360º - x)

A koszinusz a 4. negyedben pozitív. Tehát az 1. negyedre való csökkentéshez a képlet a következő:

cos x = cos (360º - x)

Példa:

Számítsa ki a szinusz és a koszinusz értékét 330 ° -ra.

A szinusszal kezdve:

A 330 ° -os szög szinuszértékének kiszámítása

A koszinusz kiszámítása:

A 330 ° -os szög koszinusz-értékének kiszámítása

Olvassa el: Hogyan lehet kiszámítani a tér két pontja közötti távolságot?

Trigonometrikus kör megoldott gyakorlatok

1. kérdés - A körmomentum vizsgálata során egy fizikus elemzett egy tárgyat, amely maga körül forgott, 15 240º szöget alkotva. Ezt a szöget elemezve az általa képzett ív:

A) I. negyed

B) kvadráns II.

C) kvadráns III.

D) negyed IV.

E) az egyik tengely tetején.

Felbontás

B. alternatíva

Tudjuk, hogy minden 360 ° -ban ez a tárgy kört tett körül. A osztály 15 240-ből 360-ra meg fogjuk találni, hogy ez az objektum hány teljes fordulatot tett meg maga körül, de legfőbb érdeklődésünk a többi iránt szól, amely a szöget jelenti, amelyen megállt.

15.240: 360 = 42,333…

Az eredmény azt mutatja, hogy 42 fordulatot tett meg maga körül, de 360 ​​· 42 = 15,120, így a következő szöget hagyta:

15.240 – 15.120 = 120º

Tudjuk, hogy a 120 ° egy kvadráns második szög.

2. kérdés - Kérjük, ítélje meg a következő állításokat:

I → Tg 140º számításakor az érték negatív lesz.

II → A 200 ° -os szög a 2. negyed szöge.

III → Sen 130º = sin 50º.

Jelölje meg a helyes alternatívát:

A) Csak én vagyok hamis.

B) Csak a II hamis.

C) Csak a III hamis.

D) Mind igaz.

Felbontás

B. alternatíva

I → Igaz, mivel a 140º-os szög a 2. negyedbe tartozik, amelyben az érintő mindig negatív.

II → Hamis, mivel a 200 ° -os szög a 3. negyed szöge.

III → Igaz, mert a 2. és az 1. negyed közötti szög csökkentéséhez csak kiszámoljuk a 180 ° - x különbséget, majd:

bűn 130 ° = bűn (180 ° - 130 °)

bűn 130. = bűn 50.

Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár

Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm

A szén kialakulása

A szén egy nem megújuló érc, amelyet a föld alól bányászat útján nyernek ki. Ez egy fosszilis tüz...

read more
Mi a polarizáció?

Mi a polarizáció?

AZ polarizáció felfogható a hullámok „szűrésének” folyamataként, melynek során aszerint kerülnek ...

read more
Intenzív és extenzív tulajdonságok. Intenzív és kiterjedt

Intenzív és extenzív tulajdonságok. Intenzív és kiterjedt

Az anyagok fizikai és kémiai tulajdonságaik alapján elemezhetők és azonosíthatók. A kémiai tulajd...

read more
instagram viewer