a trigonometrikus kör egy 1 sugarú kör, amelyet a Derékszögű sík. Ebben a vízszintes tengely a koszinusi tengely, a függőleges tengely pedig a szinusz tengely. Trigonometrikus ciklusnak is nevezhető.
A trigonometrikus arányok vizsgálatának elvégzésére szolgál. Ezzel jobban meg lehet érteni a fő trigonometriai okokat szögek 180º-nál nagyobb, nevezetesen: a szinusz, a koszinusz és az érintő.
Olvassa el: 4 leggyakoribb hiba az alapvető trigonometria során
Lépésről lépésre a trigonometrikus kör felépítése
A trigonometrikus kör felépítéséhez két tengelyt használunk, egy függőleges és egy vízszintes, mint a derékszögű sík. A vízszintes tengely néven ismert koszinusi tengely, a függőleges tengely pedig szinusz tengely.
A tengelyek felépítésével rajzoljuk meg az 1 sugarú kör grafikonját.
Trigonometrikus arányok a körben
A kör segítségével megkeressük az értékét
szinusz, koszinusz és érintő, a szögértéknek megfelelően. bejutni függőleges tengelyen a szinuszérték, a vízszintes tengelyen pedig a koszinuszérték, a trigonometrikus kör szögének meghatározásával meg lehet találni a szinusz és a koszinusz értékét a annak a pontnak a koordinátái, ahol a vonalszakasz összeköti a kör közepét és a kerületet, amelyet az a képen P képvisel kövesse. Ha az (1.0) pontban megrajzoljuk az érintő vonalat a körhöz, akkor ennek a szögnek az érintőjét is analitikusan kiszámíthatjuk a kép szerint:
Olvassa el: Mi a szekáns, a koszekáns és a kotangens?
Trigonometrikus kör radiánok
Tudjuk, hogy egy ív két különböző mértékegységgel mérhető: a mérték fokokban és a mérték a radiánok. Tudjuk a kerülete 360º és hogy az íved hossza 2π:
A trigonometrikus kör kvadránsai
Akár radiánban, akár fokokban, annak mérése szerint meghatározható az a kör, amelyben az adott ív található.
A ciklust elemezve:
első negyed: 0 és 90 ° vagy 0 és π / 2 radián közötti szög;
második negyed: 90 ° és 180 ° közötti szög vagy π / 2 és π radián;
harmadik negyed: 180 ° és 270 ° vagy π és 3 π / 2 radián közötti szög;
negyedik negyed: szögek, amelyek 270 ° és 360 ° vagy 3π / 2 és 2π radián között vannak.
Olvassa el: Terv jellemzői és tulajdonságai
Figyelemre méltó szögek a trigonometrikus körben
A tanulmány kezdetén trigonometria, megtudtuk, hogy a figyelemre méltó szögek a 30, 45 és 60 fokos szögek, amelyek értéke az ismert szinusz, koszinusz és érintő értéke. A trigonometrikus ciklus szimmetriája miatt azonban megtalálható ezeknek a szögeknek a szinusz- és koszinusz-értéke, valamint a szimmetrikus szögek neki az egyes negyedekben.
Trigonometrikus körjelek
Ahhoz, hogy megértsük, mi a ciklus egyes trigonometrikus arányainak jele, elég elemezni a tengelyértékeket a derékszögű síkban.
Kezdjük a koszinussal. Mivel ez a vízszintes tengely, a függőleges tengelytől jobbra elhelyezkedő szögek koszinusa pozitív, a függőleges tengelytől balra elhelyezett szögek pedig a negatív.
Most, hogy megértsük a szög szinuszjelét, ne feledjük, hogy a függőleges tengely a szinusz tengely, tehát a vízszintes tengely fölötti szög szinusa pozitív; de ha a szög a vízszintes tengely alatt van, akkor ennek a szögnek a szinusa negatív, amint azt a következő kép mutatja:
Tudjuk az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, majd, hogy megtaláljuk az egyes negyedek érintőjének előjelét, játszunk a jel játékkal, amely az érintőt pozitívvá teszi a páratlan és negatívvá a páros kvadránsokban:
Olvassa el: Mi a félegyenes, a félsík és a féltér?
szimmetria a körben
A trigonometrikus ciklus elemzése, lehetséges megalkotni a szinusz, koszinusz és az első negyed érintőjének csökkentését. Ez a redukció azt jelenti, hogy az első kvadránsban olyan szöget találunk, amely szimmetrikus a többi kvadráns szögével, mert amikor szimmetrikus szöggel dolgozunk, a trigonometrikus arányok értéke megegyezik, csak annak jel.
A 2. negyedben lévő szög csökkentése az 1. kvadránshoz
A 2. negyedben lévő szögekkel kezdve:
Mint tudjuk, az 1. és a 2. negyedben a szinusz pozitív. Tehát, hogy kiszámítsuk a szinusz redukcióját a 2. és az 1. kvadráns között, a következő képletet használjuk:
sin x = bűn (180º - x)
A koszinusz és az érintő a 2. negyedben negatív. A koszinusz 2. és 1. negyed közötti csökkentésére a következő képletet használjuk:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Példa:
Mennyi a szinusz és a koszinusz értéke egy 120 ° -os szögnek?
A 120 ° -os szög egy kvadráns második szög, mivel 90 ° és 180 ° között van. Ennek a szögnek az első kvadránsra való csökkentésére kiszámítjuk:
bűn 120 ° = bűn (180 ° - 120 °)
sin 120º = bűn 60º
A 60 ° -os szög figyelemre méltó szög, így szinuszértéke ismert, tehát:
Most számoljuk ki a koszinuszát:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Mivel ismerjük a 60º koszinuszt, meg kell tennünk:
A 3. negyedben lévő szög csökkentése az 1. negyedre
Csakúgy, mint a 2. negyedben, itt is szimmetria van a 3. és az 1. negyed szögei között.
A szinusz és a koszinusz a harmadik negyedben negatív. Tehát a szinusz és a koszinusz csökkentésére a 3. és az 1. kvadráns között a következő képletet használjuk:
sin x = - bűn (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Az érintő a 3. negyedben pozitív. Csökkentésére a következő képletet használjuk:
tg x = tg (x - 180º)
Példa:
Számítsa ki a szinuszot, a koszinust és az érintőt a 225º-ban
sin 225º = - bűn (225º - 180º)
sin 225º = - bűn 45º
Mivel a 45º figyelemre méltó szög, az asztal megkeresésekor:
A koszinusz kiszámításakor:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Tudjuk, hogy tg45º = 1, tehát:
tg 225º = 1
A 4. negyedben lévő szög csökkentése az 1. negyedre
Az előző csökkentésekkel megegyező érveléssel szimmetria van a 4. és 1. negyed között:
A 4. negyedben a szinusz és az érintő érték negatív. Tehát a 4. és az 1. negyed közötti csökkentéshez a következő képletet használjuk:
sin x = - bűn (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
A koszinusz a 4. negyedben pozitív. Tehát az 1. negyedre való csökkentéshez a képlet a következő:
cos x = cos (360º - x)
Példa:
Számítsa ki a szinusz és a koszinusz értékét 330 ° -ra.
A szinusszal kezdve:
A koszinusz kiszámítása:
Olvassa el: Hogyan lehet kiszámítani a tér két pontja közötti távolságot?
Trigonometrikus kör megoldott gyakorlatok
1. kérdés - A körmomentum vizsgálata során egy fizikus elemzett egy tárgyat, amely maga körül forgott, 15 240º szöget alkotva. Ezt a szöget elemezve az általa képzett ív:
A) I. negyed
B) kvadráns II.
C) kvadráns III.
D) negyed IV.
E) az egyik tengely tetején.
Felbontás
B. alternatíva
Tudjuk, hogy minden 360 ° -ban ez a tárgy kört tett körül. A osztály 15 240-ből 360-ra meg fogjuk találni, hogy ez az objektum hány teljes fordulatot tett meg maga körül, de legfőbb érdeklődésünk a többi iránt szól, amely a szöget jelenti, amelyen megállt.
15.240: 360 = 42,333…
Az eredmény azt mutatja, hogy 42 fordulatot tett meg maga körül, de 360 · 42 = 15,120, így a következő szöget hagyta:
15.240 – 15.120 = 120º
Tudjuk, hogy a 120 ° egy kvadráns második szög.
2. kérdés - Kérjük, ítélje meg a következő állításokat:
I → Tg 140º számításakor az érték negatív lesz.
II → A 200 ° -os szög a 2. negyed szöge.
III → Sen 130º = sin 50º.
Jelölje meg a helyes alternatívát:
A) Csak én vagyok hamis.
B) Csak a II hamis.
C) Csak a III hamis.
D) Mind igaz.
Felbontás
B. alternatíva
I → Igaz, mivel a 140º-os szög a 2. negyedbe tartozik, amelyben az érintő mindig negatív.
II → Hamis, mivel a 200 ° -os szög a 3. negyed szöge.
III → Igaz, mert a 2. és az 1. negyed közötti szög csökkentéséhez csak kiszámoljuk a 180 ° - x különbséget, majd:
bűn 130 ° = bűn (180 ° - 130 °)
bűn 130. = bűn 50.
Írta: Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikatanár
Forrás: Brazil iskola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm